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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Glozi
- 20-09-2023 22:35:33
Bonsoir,
Je suppose que tu as deux propositions "vues en cours" similaires à celles ci :
$\textbf{Prop 1}$ si $f : I \to J$ est continue strictement monotone sur l'intervalle $I$ et $J=f(I)$, alors $f$ est bijective et $f^{-1} : J \to I$ est continue sur $J$.
$\textbf{Prop 2}$ dans le même contexte, si $f$ est dérivable en $a\in I$ avec $f'(a)\neq 0$ alors $f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ et on a $(f^{-1})'(f(a)) = 1/f'(a)$ soit en notant $b=f(a)$, $(f^{-1})'(b)= 1/f'(f^{-1}(b))$
La première proposition te garantit l'initialisation de ta récurrence : $f^{-1}$ sera continue,
La deuxième proposition te garantit que $f^{-1}$ est bien dérivable (en particulier on peut parler de $(f^{-1})'$)
Pour l'hérédité, si on suppose $f^{-1}$ de classe $\mathcal{C}^n$, alors par la formule $(f^{-1})'(x)= 1/f'(f^{-1}(x))$ on voit que $(f^{-1})'$ en tant que l'inverse de la composée d'une fonction $\mathcal{C}^\infty$ ne s'annulant pas et d'une fonction $\mathcal{C}^n$, sera une fonction $\mathcal{C}^n$, c'est donc que $f^{-1}$ est $\mathcal{C}^{n+1}$.
Bonne soirée
- Azoulay
- 20-09-2023 21:54:42
Bonjour à tous, dans un exercice, je dois montrer que la fonction notée phi, réciproque de x**2+ln(1+x) est de classe Cinfinie.
En l’occurrence je ne vois pas bien comment procéder par récurrence, une fois que je dérive la fonction phi, on obtient phi’(f(x))*f’(x) mais je ne sais pas trop quoi faire de ça.
C’est sûrement pas bien dur mais en tant que BCPST les maths c’est pas ma matière même si j’aime bien ça.
Merci d’avance!!