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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Glozi
- 10-09-2023 15:10:34
Non,
Par définition de l'espérance (puisque $Z_{n-1}$ est à valeur dans $\mathbb{N}$) on a :
$\mathbb{E}[Z_{n-1}]=\sum_{k=1}^\infty k\mathbb{P}(Z_{n-1}=k)$.
Toi tu as l'expression $\sum_{k=1}^\infty k\mathbb{P}(Z_{n-1}=k-1)$
Ce n'est pas la même chose.
Pour avancer le calcul, je te conseille de faire un changement d'indice dans ta somme.
Bonne journée
- Juju3
- 10-09-2023 14:40:29
Bonjour,
J'ai dit que cette quantité était égale à E(Zn-1) parce que c'est la formule de l'espérance non ?
- Glozi
- 03-09-2023 19:34:15
Bonsoir,
Dans $\sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(Z_{n-1}=k-1)$, déjà on peut enlever l'indice $k=0$.
Ensuite pourquoi est-ce que cette quantité serait égale à $\mathbb{E}[Z_{n-1}]$ ?
Bonne soirée
- Juju3
- 03-09-2023 19:07:15
Bonjour,
J'ai une autre question concernant ce même exercice.
Voici l'énoncé : On note maintenant Zn le nombre de boules noires tirées lors des n premiers tirages.
a) Montrer à l'aide du résultat du premier tirage que pour k∈N, P(Zn+1=k) = 1/2P(Zn=k) + 1/2P(Zn-1=k-1)
Pour cette question j'ai réussi à le montrer.
Mais ensuite je dois en déduire que E(Zn+1)=1/2E(Zn) + 1/2E(Zn-1) + 1/2
Voilà ce que j'ai fait :
E(Zn+1) = somme de k=0 à n de [kP(Zn+1=k)]
E(Zn+1) = somme de k=0 à n de [k (1/2P(Zn=k) + 1/2P(Zn-1=k-1))]
E(Zn+1) = somme de k=0 à n de [1/2kP(Zn=k)] + somme de k=0 à n de [1/2kP(Zn-1=k-1)]
E(Zn+1) = 1/2(somme de k=0 à n de [kP(Zn=k)] + 1/2 (somme de k=0 à n de [kP(Zn-1=k-1)])
E(Zn+1) = 1/2E(Zn) + 1/2E(Zn-1)
Mais je ne vois pas d'où sort le dernier 1/2... Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
- Juju3
- 29-08-2023 18:33:24
D'accord, merci pour votre réponse, je vais essayer de faire ça ! :)
- Glozi
- 21-08-2023 18:23:28
Bonsoir,
À mon avis, l'idée est de calculer les puissances $M^n$ (en diagonalisant la matrice $M$ par exemple) pour ensuite utiliser la formule $U_{n}= M^{n-1}U_1$.
Bonne soirée
- Juju3
- 21-08-2023 15:31:24
Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour un exercice, voici l'énoncé :
Dans une urne sont placées deux boules, une noire et une rouge. On effectue une suite de tirage selon les modalités suivantes :
* si la boule tirée est noire, on ne le remet pas dans l'urne (et donc la boule rouge sera nécessairement tirée au tirage suivant)
* si la boule tirée est rouge, on remet l'urne dans son état initial
Pour n ∈ N∗, on note alors Nn (et respectivement Rn), l'événement "la n-ième boule tirée est noire" (respectivement rouge)
On note an = P(Nn) et bn = P(Rn)
1. On note an = P(Nn) et bn = P(Rn) pour n ∈ N∗
(a) Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn
(b) Soit Un = (an) ∈ M2,1(R). Proposer M ∈ M2(R) telle que ∀n∈N, Un+1 = MUn
(bn)
(c) Calculer Un et proposer une expression de bn et de an en fonction de n.
Pour la question a) j'ai trouvé : an+1 = 1/2bn ; bn+1 = 1/2bn + an
Pour la question b), j'ai trouvé : M = (0 1/2)
(1 1/2)
Pour la question c), je n'ai pas réussi à calculer Un, j'ai essayé de multiplier par la matrice M^(-1) : M^(-1) Un+1 = M Un M^(-1), sauf que je retombe sur Un = (an), donc que Un = Un.
(bn)
Pourriez-vous m'aider à calculer Un s'il vous plaît ? Merci d'avance !