Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je n'ai pas dit que $\varepsilon$ dépend de $N$, j'ai dit que $N$ dépend de $\varepsilon$
Exemple $u_n=1/2^n$,
alors pour tout $\varepsilon>0$ il existe $N\geq 0$ tel que si $n\geq N$ on ait $u_n \leq \varepsilon$.
Pourtant on n'a jamais $u_n \leq 0$ (pour aucun $n$) (on ne peut donc pas passer à la limite $\varepsilon\to 0$).
Évidemment dans ce contre exemple, $(u_n)_n$ n'est pas croissante, (c'est donc qu'il faut utiliser l'hypothèse de croissance quelque part).

Bonsoir,
Attention tu ne peux pas faire tendre $\varepsilon$ vers $0$ comme tu le fais car ton $N$ dépend de $\varepsilon$.
Ce que tu avait fait dans ta preuve 1 était pourtant pas mal : si $n\in \mathbb{N}$ est fixé alors pour tout $k\geq 0$ on a $u_{n}\leq u_{n+k}$, ce qui donne $u_n\leq 0$ en passant à la limite en $k \to \infty$.
Sinon autre idée de preuve : par l'absurde supposons qu'il existe $n$ tel que $u_n>0$ etc...
Bonne soirée

Parce que "géométriquement" n'est pas une démonstration, cela manque de rigueur.
La première preuve est rigoureuse, si on sait que l'on peut passer à la limite dans une inégalité.

F.

Bonjour

  La deuxième preuve est correcte mais il faut éviter le terme "géométriquement". On peut démontrer cette propriété en revenant à la définition de la limite d'une suite.

F.