Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Oui je comprends le dilemme.
Ton option est plus exigeante, puisque B est inclus dans A selon ton exemple, par hypothèse, ou dit autrement selon qu'on prend les voisinages V(b) du point de vue purement dans A, ou leurs traces sur B (qui sont plus petites donc satisfaisant plus facilement la forme de continuité selon la mienne).
Peut-être la lecture des ouvrages académiques sur la définition des limites selon tel ou tel filtre versus l'espace considéré permettrait-elle de lever le doute.
Ou bien l'option est-elle totalement libre, sous réserve d'en convenir préalablement.

En tous cas, sauf erreur, dans le cas d'intervalles comme ici, le distinguo joue sur les points de B qui sont (éventuellement) en frontière de B.
S'il n'y a que des points intérieurs, les deux définitions se confondent, chacune impliquant l'autre (dont un sens immédiat, logique,l'autre plus topologique).

Merci pour tes précisions
Alain

Bonjour,

Si j'ai bien compris la question initiale:

Soit f définie sur $I \cup J$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , où I et J sont deux intervalles.
On se demande si f est continue sur $I \cup J$ si f est continue selon I et continue selon J.

Si on en revient aux définitions on a donc:

Continuité selon I:    $\forall x_0 \in I, \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 |x-x_0| < \eta \;et\; x \in I  \Rightarrow |f(x) - f(x_0| < \epsilon$
Continuité selon J:    $\forall u_0 \in J, \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 |u-u_0| < \eta \;et\; u \in J  \Rightarrow |f(u) - f(u_0| < \epsilon$

le $u_0$ et $x_0$ n'étant pas forcément commun aux deux propriétés, rien ne permet de conclure que:

$\forall x_0 \in I \cup J, \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 |x-x_0| < \eta \;et\; x \in I \cup J  \Rightarrow |f(x) - f(x_0| < \epsilon$

Il en va bien-sûr autrement si on considère un point commun aux deux intervalles.

Si on prend par-exemple f nulle sur $]-\infty , 0]$ et f(x) = 1/x sur $]0, +\infty[$ , f est bien continue selon chaque sous-intervalle, mais pas sur $\mathbb{R}$.

Je maintiens donc mon contre-exemple en avouant ne pas trop comprendre ton argumentation (c'est peut-être moi qui doit faire une visite chez l'ophtalmo ?)

A.

Bonsoir,
@bridgslam Je pense que mpk parlait de $f(x)=\frac{1}{x-1}$ du post 1. (finalement pas besoin de lunettes ?)
Sinon tout dépend de la définition :
Pour moi si $A\subset \mathbb{R}$ un ensemble quelconque, si $f : A \to \mathbb{R}$, si $a\in A$ je dis que $f$ est continue en $a$ si
$$\forall \varepsilon >0,\  \exists \eta>0,\ \forall x\in A,\ |x-a|<\eta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.$$
On retrouve la propriété locale de la continuité signalée par mpk.

Ensuite si $B\subset A$, je dis que $f : A\to \mathbb{R}$ est continue sur $B$ si elle est continue en chacun des points de $B$. (ATTENTION : je ne parle pas de la continuité de $f_{|B}$ la restriction de $f$ à $B$, mais bien d'une continuité point par point, et donc le quantificateur dans la définition sera bien $\forall x\in A$ et non $\forall x \in B$).

Ainsi pour moi il n'existe pas de fonction $f : [0,2]\to \mathbb{R}$ continue sur $[0,1[$ et sur $[1,2]$ mais pas continue en $1$ car pour moi si $f : [0,2] \to \mathbb{R}$ est continue sur $[1,2]$ cela signifie en particulier que $f$ est continue en $1$.
En revanche de mon point de vue il existe des fonctions $f : [0,2]\to \mathbb{R}$ dont les restrictions à $[0,1[$ et à $[1,2]$ sont continues mais qui ne sont pas continues en $1$.

Je ne sais pas ce que vous en pensez, je n'ai jamais été très clair sur ces définitions mais j'imagine qu'il y a plusieurs approches de ce problème... Pour moi le point important est de savoir la définition de la continuité en un point.

En tout cas je pense que nous sommes tous d'accords pour dire que $f : ]-\infty,1[\cup]1,\infty[, x\mapsto 1/(x-1)$ est bien continue sur son intervalle de définition (qui ne contient pas $1$).

Bonne soirée

Mais bridgslam a donné un contre exemple qui rend ce que tu dis faux .
Je pense que la réponse de mpk n'est vrai que dans les cas des intervalles fermés .

Bonjour,

Si I et J sont quelconques ( notamment si pas ouverts tous les deux ) on ne peut pas être affirmatif.
Par exemple si f est continue sur ]0 , 1 [ et aussi sur [1 , 2[ , f sera continue aux points intérieurs, continue à droite en 1, mais on ne peut rien dire en 1 à gauche.
1 étant point frontière des deux intervalles, il y a (éventuellement) une indétermination qui va dépendre du comportement de f à gauche de 1.
Si on rajoute aux hypothèses que f est aussi continue à gauche en 1, on peut conclure à la continuité sur la réunion.

A.