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Si $S=G$ (ou si $S$ est une partie génératrice de $G$) je ne vois pas comment tu vas trouver $K$ un sous groupe propre...
Sinon ta construction ne marche pas, par exemple dans $G=(\mathbb{R},+,0)$ avec $S=\mathbb{Z}$ alors $L=\mathbb{Z}$ et donc $K=\{0\}$ n'est pas ouvert et ne contient pas $S$.

Je pense que $K=G$ convient parfaitement bien et qu'on ne peut pas faire mieux dans le cas où $S=G$.

Bonjour,
Par exemple $G=(\mathbb{R},0,+)$ muni de sa topologie usuelle est un groupe.
$H=(\mathbb{Z},0,+)$ est un sous groupe de $G$.
Pourtant $\mathring{H}=\emptyset$ n'est pas un sous groupe de $G$ (un sous groupe ne peut jamais être vide car il doit contenir l'élément neutre).

Par contre si on rajoute comme hypothèse que $\mathring{H}$ est non vide, alors on peut effectivement montrer que $\mathring{H}$ est un sous groupe de $G$, en effet si $x,y\in \mathring{H}$ alors a $x\in V_x \subset H$ et $y\in V_y\subset H$ avec $V_x$ et $V_y$ ouverts, mais alors $xy^{-1}\in V_x V_y^{-1}$
Où par définition $V_xV_y^{-1}=\{ab^{-1} |a\in V_x, b\in V_y\}$. On vérifie sans peine que $V_xV_y^{-1}$ est un ouvert contenant $xy^{-1}$ et contenu dans $H$, ainsi $xy^{-1}\in \mathring{H}$ et on conclut que $\mathring{H}$ est un sous groupe.

Bonne journée