Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

C'est élémentaire, par exemple avec L = 2m, [tex]\theta (0) = 55^o[/tex] et [tex]\theta '(0) = 55^o[/tex]

temps (en s) en abscisses) et theta (en rad) en ordonnées.

Ok

Merci Black Jack pour ces éclaircissements.

Lorsque Picard dit qu'il va partir sur des méthodes d'approximations, je pense qu'il serait beaucoup plus sage de partir avec un modèle écrit de façon plus simple (sans le $\pm$) qu'on obtient en repartant de ce qu'a écrit Black Jack :

que l'on dérive par rapport au temps. On obtient :
$$2 w w' = -2\frac{g}{L} \theta' \sin(\theta).$$
Puisque $w=\theta'$, cette dernière se ré-écrit
$$\theta'' + \frac{g}{L}\sin(\theta) = 0.$$

Roro.

@Piquard,

"Oui, le dessous de la racine est forcément positif"

Le soucis n'est pas là.
L'équation : (X' = [2g/L * (cos(X)-cos(Xo))]^0.5) n'est valable que pour les portions de rotation dans le sens anti horlogique.

Lorsque la balançoire change de sens de rotation, l'équation DOIT être  X' =   - [2g/L * (cos(X)-cos(Xo))]^0.5

Bonjour,

Suite aux différentes interventions, je vois apparaître deux points différents :
1 - la modélisation ayant conduit à l'équation différentielle de Piquard dans son message initial ;
2 - la résolution de ladite équation différentielle.

Pour la première question, je suis - comme Black Jack - assez surpris de la racine carrée... tu as dû extraire la racine carrée de quelque chose sans être certain que c'était positif ($\sqrt{\dot{\theta}^2}  = |\dot{\theta}| \neq \dot{\theta}$). La formulation classique de l'équation que tu sembles chercher est celle d'un pendule pesant, voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_pesant

Pour la seconde question, si tu veux une solution de ton équation différentielle (ce sera aussi le cas si tu utilises l'équation plus usuelle d'un pendule pesant évoqué ci-dessus) tu peux
1 - soit faire une approximation de petits angles et comme le dit Black Jack, te retrouver avec un problème linéaire simple ;
2 - soit te contenter d'une solution utilisant des fonctions spéciales comme l'évoquait Fred ;
3 - soit utiliser un outil d'approximation numérique (tableur ou programmation).

Roro.

Rebonjour,

Il y a, me semble-t-il un soucis avec l'équation telle que donnée.

La vitesse angulaire doit changer de signe en cours de mouvement (puisque oscillations), or comme l'équation est donnée, elle ne peut être que positive (X' = [2g/L * (cos(X)-cos(Xo))]^0.5)
Le signe devrait changer à chaque demi période ...

Ce problème n'existe pas si on utilise l'équation plus habituelle que j'ai donné dans mon message précédent.

Bonjour,

On a :

[tex]\int \frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2g.(cos(\theta)-cos(\theta_0))}{L}}} = \int dt[/tex]

Mais cela conduit à une intégrale elliptique de Jacobi.

Une manière plus habituelle pour cette étude, donne l'équation : [tex]\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} .sin(\theta) = 0[/tex]

... qui fait aussi passer par une intégrale elliptique de Jacobi.

Mais qui peut plus facilement se simplifier si l'angle´[tex]\theta[/tex] reste petit, on fait alors l'approximation [tex]sin(\theta) = \theta[/tex].

Si on ne peut pas faire cette approximation, on peut résoudre par une méthode numérique (tableur avec petits incréments de temps) ou bien utiliser un développement limité de l'intégrale elliptique, mais c'est lourd.

Voila, c'est ça.
L'angle θ, je le prend tel qu'il est nul lorsque le balancier est vertical.