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Si $z$ est impair alors $z^2\equiv 1 [4]$  (car $z=2z'+1$ et donc $z^2= 4z'^2+4z'+1 \equiv 1[4]$) en particulier $z^2 \not\equiv -1 [4]$. En fait, il n'y a aucun entier $z$ qui vérifie $z^2\equiv -1[4]$ (de même il n'y a aucun entier $z$ tel que $z^2\equiv 2 [4]$).

Bonsoir,
Il y a peut-être un trou dans ma preuve ?

Yoshi
Si $x^2+y^2+z^2\equiv 0[4]$ alors $x$, $y$ et $z$ sont tous les trois pairs.
La dessus, je crois que je ne me suis pas planté. On utilise le fait suivant :
Si $u$ est pair, alors $u=2u'$ et donc $u^2=4u'^2\equiv 0[4]$
Si $u$ est impair, alors $u=2u'+1$ et donc $u^2=4u'^2+4u'+1 \equiv 1[4]$

Ainsi, si parmi $x,y,z$ il y a zéro nombre impair (que des nombres pairs), on a $x^2+y^2+z^2\equiv 0[4]$
Si parmi $x,y,z$ il a un seul nombre impair, on a $x^2+y^2+z^2\equiv 1[4]$
Si parmi $x,y,z$, il a deux nombres impairs, on a $x^2+y^2+z^2\equiv 2[4]$
Si parmi $x,y,z$, il y a trois nombres impairs, on a $x^2+y^2+z^2\equiv 3[4]$.

Ainsi si $x^2+y^2+z^2\equiv 0[4]$ c'est forcément qu'on était dans la première option où les trois nombres sont pairs.

L'astuce c'est que la connaissance de $u$ modulo $2$ permet de connaître $u^2$ modulo $4$ et vice versa (pas de perte d'information).

Bernard-Maths
Je rappelle que $(x,y,z)$ est une éventuelle solution du problème.
Supposons par exemple que $x$ dans cette solution soit impair, on aboutit à une contradiction (c'est mon étape 1).
Alors par la formule $z^2+1 = (x+1)(x-1)(y+1)(y-1)$ on voit que $z^2+1$ est divisible par $4$. Pourquoi car à droite $x+1$ et $x-1$ sont deux nombre pairs. Le produit de deux nombres pairs est divisible par $4$.
Mais il est impossible d'avoir un entier $z$ qui vérifie $z^2+1\equiv 0[4]$.
Donc si $x$ est impair on aboutit à une contradiction, c'est donc que $x$ est pair.

Maintenant l'équation est totalement symétrique en $x$ et $y$ donc le même argument montre que forcément $y$ est pair.

Une fois que $x$ et $y$ sont pairs il n'est pas trop difficile de se convaincre que $z$ est pair puisque $z^2=x^2y^2-x^2-y^2$ est pair.

Est-ce que c'est plus clair ?
Ou est-ce qu'il y a quelque chose que je ne vois pas ?

Bonne soirée

Re-re-bonsoir !

Je reste un peu dubitatif, car si je suppose que x et y sont impairs, alors il vient que z aussi, oui ou non !?

Le cas pair étant traité, que dire du cas impair ?

J'y réfléchis (un peu), et vous ?

Bernard-maths

Bonjour !

Moi je commencerais par : z² = x²y² - x² - y²

et je vais factoriser ... ?

Je pars, Bernard-maths

Bonjour,

  Pas facile.... Quelques idées :
* si $x$ est pair, alors on obtient que $y^2+z^2\equiv 0\ [4]$ et en faisant les tables de congruence modulo 4, il est facile de voir que ceci entraîne que $y$ et $z$ sont tous les deux pairs. Donc on peut diviser par 2. On peut faire la même chose si $y$ est pair et finalement, on se ramène au cas suivant.
* si $x$ est impair et $y$ est impair, alors on prouve également que c'est impossible en raisonnant modulo 4.

F.