Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Rebonsoir,
Bon du coup, le théorème 1.1.2 de ton livre parle bien d'une $\mathbb{C}^\star$ algèbre $\textbf{commutative}$.
Pour la première égalité dont tu parles : $M_q(\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}(\mathbb{Z}_q\times \mathbb{Z}_q,c)$, alors il s'agit de montrer que $M_n(\mathbb{C})$ est isomorphe à la $\mathbb{C}^\star$ algèbre engendrée par deux éléments $U$ et $V$ vérifiant les relations
$U^q=V^q=1$ et $VU = e^{2i\pi/q}UV$.
Idée pour résoudre ça :
On pose $\lambda = e^{2i\pi/q}$
Dans $M_n(\mathbb{C})$ on pose $u = diag(1,\lambda,\dots, \lambda^{q-1})$ et on pose $$v=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \dots & \dots \\
0 & 0 & 1 & 0 & \dots\\
\vdots & \vdots &\ddots &\ddots & \\
0 & 0 & \dots & 0& 1\\
1 & 0 & \dots &0 & 0
\end{pmatrix}$$

On vérifie que $u^q = v^q = I_q$ que $vu = \lambda uv$.
Et surtout on vérifie que la sous algèbre de $M_q(\mathbb{C})$ engendrée par $u$ et $v$ est en fait $M_q(\mathbb{C})$ tout entier. Une manière de faire, montrer que $(u^iv^j)_{0\leq i,j\leq q-1}$ est une famille libre de $M_q(\mathbb{C}).$

Pour l'égalité suivante "$\mathbb{C}(\mathbb{Z}_q\times \mathbb{Z}_q,c) \simeq \mathcal{C}^0(\mathcal{A}_\theta, \mathbb{C})$" je ne vois pas où elle est indiquée dans le papier (il est tard et je vais aller dormir) mais comme je l'ai dit vu qu'un côté est non commutatif alors que l'autre l'est, je ne crois pas en cette égalité.

Bonne soirée

Si je ne m’abuse :

[tex]\mathbb{C} ( \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_q , c_{\theta}}  )[/tex] : Twisted group algebra.

[tex]\mathcal{A}_{\theta}[/tex] : Tore non commutatif.

Bonsoir,
Je ne connais pas le théorème de Gelfand Naimark, mais je ne vois pas comment on pourrait avoir un isomorphisme d'algèbre entre $M_n(\mathbb{C})$ et $\mathcal{C}^0(X,\mathbb{C})$ (ou même une sous algèbre de ce dernier) car dans $M_n(\mathbb{C})$ la multiplication est non commutative alors que $\mathcal{C}^0(X,\mathbb{C})$ la multiplication est commutative...
Ou alors je n'ai pas bien compris ce que tu cherches ?
Bonne soirée