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La série [tex]R_n[/tex] rentre parfaitement dans le critère des séries alternées  : le terme général est de la forme [tex](-1)^k a_k[/tex], où la suite [tex](a_k)[/tex] est positive décroissante puisque [tex]a_k=\dfrac1k[/tex].

Ta question n'est pas claire. Elle concerne peut-être la convergence de la série [tex]\sum R_n[/tex] ?
Puisqu'on a vu par le critère des séries alternées que la série [tex]R_n[/tex] est convergente, on sait que la valeur absolue de sa somme est la limite pour $q\to \infty$ de $$(-1)^{n+1}\sum_{k=n+1}^{n+2q+2}\dfrac{(-1)^k}{k}=\sum_{p=0}^q\left(\dfrac1{n+2p+1}-\dfrac1{n+2p+2}\right)\;.$$

Ensuite, pour la série [tex]\sum R_n[/tex], on peut de nouveau appliquer le critère de convergence des séries alternées.

Une dernière chose : l'indication permet de voir que la suite [tex](|R_n|)[/tex] est bien décroissante, ce qui est demandé pour l'application du critère des séries alternées à la série [tex]\sum R_n[/tex] (qui n'est pas la série $R_n$ !).

Bonjour,

  Si $\sum_n u_n$ est une série convergente, si $(p_n)$ est une suite strictement croissante d'entiers naturels telle que $p_0=0,$ et si on pose pour tout $n$, $v_n=\sum_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}u_k,$ alors la convergence de $\sum_n u_n$ entraîne celle de $\sum_n v_n,$
et les deux séries ont la même somme. La réciproque est fausse : la convergence de la série $\sum_n v_n$ n'entraîne pas celle de $\sum_n u_n$.

F.

Bonjour,

Dans un exercice, on demande de démontrer que la série [tex]R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k}[/tex] converge.

Pour cela, l'indication est la suivante : montrer que [tex]|R_n|=\sum_{p=0}^{+\infty} \big(\frac{1}{n+2p+1}-\frac{1}{n+2p+2}\big)[/tex].

Bon, je pense voir d'où cela vient : un regroupement des termes pairs et impairs. Seul problème pour moi, qu'est-ce qui m'autorise à regrouper ces termes, puisque la série ne semble pas converger absolument ?

Merci !