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ETAPE 1 : la formule de Kemperan
(voir par exemple https://vferay.perso.math.cnrs.fr/Teach … _Feray.pdf proposition 5.1)
Tout d'abord un petit contexte sur la formule de Kemperman qu'on va utiliser plus loin :
Hypothèses : On considère $(X_n)_{n\geq 1}$ des variables aléatoires iid à valeurs dans $\mathbb{N}\cup \{-1\}$. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$.
On peut voir $(S_n)_{n\geq 0}$ comme une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}$. Elle démarre en $0$ et à chaque instant $n$ on augmente $S_n$ de $X_{n+1}$ (attention la marche peut aussi redescendre car possiblement $X_{n+1}=-1$ cependant si la marche descend alors c'est par petits pas de $-1$ (car les $X_n$ ne peuvent pas valoir $-2,-3,\dots$)

On pose $T_{-1}= \inf\{n\geq 0, S_n = -1\}$ le premier temps de passage de la marche en $-1$ (ce temps est un temps d'arrêt aléatoire (pour la filtration naturelle) et est possiblement infini).

Formule de Kemperman (pour $T_{-1}$)Sous les hypothèses précédentes alors pour tout $n\geq 1$ nous avons $$\mathbb{P}(T_{-1}=n) = \frac{1}{n}\mathbb{P}(S_n = -1)$$

Démonstration de la formule de Kemperman (pour $T_{-1}$)
Soit $n\geq 1$, considérons les $n$ premiers incréments de la marche $X_1,X_2,\dots,X_n$.
On considère pour $1\leq i \leq n$, la marche tronquée $(S^{(i)}_n)_{0\leq i \leq n}$.
La marche $S^{(i)}$, est la marche issue de $0$ dont les incréments dans l'ordre sont $X_{(i-1)+1}, X_{(i-1)+2},\dots,X_{(i-1)+n}$
($n+1$ désigne ici $1$, $n+2$ désigne $2$ etc...)
Autrement dit $S^{(1)}$ est la marche usuelle, et les autres marches sont des marches "décalées" de la première (essayer de faire un dessin)
Par exemple pour $S^{(2)}$ le premier incrément est $X_2$ puis $X_3$ etc... puis $X_n$ puis $X_1$ et on s'arrête.

Maintenant considérons la proposition suivante :
Supposons que $X_1+X_2+\dots+X_n = -1$, alors il existe une unique une unique marche parmi $S^{(1)}, S^{(2)}, \dots, S^{(n)}$ dont le premier passage en $-1$ est au temps $n$.

Je donne une idée pour prouver cette proposition : considérons $r= \min\{1\leq i \leq n\ S_i = min_{1\leq j \leq n} (S_j)\}$ le premier temps ou la marche atteint son minimum. Alors je prétends que $S^{(r+1)}$ atteint $-1$ pour la première fois au temps $n$. (faire un dessin pour comprendre). Il reste à montrer que les autres $S^{(i)}$ n’atteignent pas $-1$ pour la première fois au temps $n$, ce n'est pas compliqué mais dur à expliquer sans dessins donc je laisse cela de côté.

Je considère donc la proposition ci dessus prouvée. Elle se réécrit $\mathbb{1}_{S_n = -1} = \sum_{i=1}^n \mathbb{1}_{T_{-1}(S^{(i)})=n}$ (exercice pas trop compliqué non plus)

En prenant l'espérance et en utilisant le fait que les $X_i$ sont iid et donc que les $S^{(i)}$ ont la même loi que $S$ on trouve la conclusion.
La formule de Kemperman est donc "démontrée" (on peut discuter des trous dans la preuve si vous voulez).

ETAPE 2 : Utilisation de la formule de Kemperman
Soit $a\geq 0$, donnons nous $(Y_i)_{i\geq 1}$ une famille de variables aléatoires iid qui suivent une loi de Poisson de paramètre $a$ (c'est à dire que pour $k\geq 0$, $\mathbb{P}(Y_1=k) = e^{-a}\frac{a^k}{k!}$).
Posons $X_i=Y_i-1$ et $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$.
Alors par la formule de Kemperman :
$\mathbb{P}(T_{-1}=n) = \frac{1}{n}\mathbb{P}(S_n = -1) = \frac{1}{n}\mathbb{P}(\sum_{i=1}^n Y_i = n-1)$
Or $\sum_{i=1}^n Y_i$ suit une loi de Poisson de paramètre $na$. Ainsi $\mathbb{P}(T_{-1}=n) = \frac{1}{n}e^{-na}\frac{(na)^{n-1}}{(n-1)!} = \frac{e^{-na}(na)^{n-1}}{n!}$.

On voit alors que $\mathbb{P}(T_{-1}<\infty) = \sum_{n=1}^\infty \mathbb{P}(T_{-1}=n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-na}(na)^{n-1}}{n!}$.

Cependant si $a<1$ alors $\mathbb{E}[X_1]<0$ et donc par la loi forte des grands nombres $S_n\to -\infty$ presque sûrement, et donc $\mathbb{P}(T_{-1}<\infty)=1$.
Par ailleurs si $a=1$ et donc $\mathbb{E}[X_1]=0$, alors $(S_n)_n$ est une marche aléatoire récurrente sur $\mathbb{Z}$ et donc on a également $\mathbb{P}(T_{-1}<\infty)=1$.
En revanche si $a>1$ alors $S_n \to +\infty$ presque sûrement, et $\mathbb{P}(T_{-1}<\infty)<1$.

Bref, pour $a = 1/17$ on trouve la somme de départ.

Je vous laisse chercher pour la deuxième somme proposée comment faire (quelle loi choisir pour les $X_i$ ?)

La méthode à laquelle je pense fait appel à la formule de Kemperman. Attention, la recherche google peut être trompeuse : il s'agit d'une formule concernant les marches aléatoires.

J'ai cru que tu avais déjà trouvé !
Sinon ce que tu dis est vrai Zebulor, la somme converge vite mais vers quoi et surtout pourquoi ?