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Re-

  Ce n'est pas la règle de d'Alembert qui est utilisée dans la correction, c'est la règle de Cauchy,
pour laquelle on considère non pas le quotient $|a_{n+1}|/a_n$, mais $a_n^{1/n}$. Et dans le cas d'une série entière $\sum_n a_n z^n$, son rayon de convergence vaut $\frac 1R=\limsup a_n^{1/n}$.

F.

Bonjour,

  Pour les séries entières, on ne peut pas conclure à partir de la règle de d'Alembert si la limite sup et la limite inf sont distinctes. Prends par exemple la série $\sum_n z^{2n}$. Alors la limite inf vaut $0$ et la limite sup vaut $+\infty$, alors que le rayon de convergence fait $1$.

F.