Formulaire de Mathématiques : Transformée en $Z$
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb Z}$ une suite de nombres complexes. On appelle transformée en $Z$ de cette suite la fonction d'une variable complexe définie par : $$F(z)=Z(u_n)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}u_nz^{-n}.$$
En séparant la somme en deux, somme sur les entiers négatifs et somme sur les entiers positifs, on distingue deux séries entières, l'une en $z$ et l'autre en $1/z$. Le domaine de convergence de la transformée en$Z$ est alors une couronne.
Souvent, on n'étudie la transformée en $Z$ que pour des suites causales, c'est-à-dire des suites telles que $u_n=0$ $n<0.$ La définition devient alors $$F(z)=Z(u_n)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n z^{-n}$$ et le domaine de convergence est l'extérieur d'un disque.
Voici une table des transformées en $Z$ usuelles. On ne considère que des suites causales.
\[ \begin{array}{|>{\displaystyle}c|>{\displaystyle}c|>{\displaystyle}c|} \hline \textbf{Suites} & \textbf{Transformée en $Z$} & \textbf{Domaine de convergence} \\ \hline \begin{aligned} u_0 = 1 \\ u_n = 0 \text{ si } n > 0 \end{aligned} & 1 & \mathbb{C} \\ \hline \begin{aligned} u_k = 1 \\ u_n = 0 \text{ si } n \neq k \end{aligned} & z^{-k} & \mathbb{C}^* \\ \hline 1 & \dfrac{z}{z-1} & |z| > 1 \\ \hline n & \dfrac{z}{(z-1)^2} & |z| > 1 \\ \hline a^n & \dfrac{z}{z-a} & |z| > a \\ \hline n a^n & \dfrac{a z}{(z-a)^2} & |z| > a \\ \hline \cos(\omega n) & \dfrac{z^2 - z \cos(\omega)}{z^2 - 2z \cos(\omega) + 1} & |z| > 1 \\ \hline \sin(\omega n) & \dfrac{z \sin(\omega)}{z^2 - 2z \cos(\omega) + 1} & |z| > 1 \\ \hline a^n \cos(\omega n) & \dfrac{z^2 - a z \cos(\omega)}{z^2 - 2 a z \cos(\omega) + a^2} & |z| > a \\ \hline a^n \sin(\omega n) & \dfrac{a z \sin(\omega)}{z^2 - 2 a z \cos(\omega) + a^2} & |z| > a \\ \hline \end{array} \]La transformée en Z possède les propriétés formelles suivantes :
\[ \begin{array}{|>{\displaystyle}c|>{\displaystyle}c|} \hline \textbf{Opération sur les suites} & \textbf{Opération sur la transformée en $Z$} \\ \hline a x(n) + b y(n) & a Z(x(n)) + b Z(y(n)) \\ \hline Z(x(n-k)) & z^{-k} Z(x(n)) \\ \hline Z(x(n+k)) & z^k Z(x(n)) - \sum_{j=0}^{k-1} x(j) z^{k-j} \\ \hline Z(x(n) \ast y(n)) & Z(x(n)) Z(y(n)) \\ \hline Z(a^n x(n)) & Z(x(n)) \left(\frac{z}{a}\right) \\ \hline \begin{aligned} Z(n x(n)) \\ Z(n^k x(n)) \end{aligned} & \begin{aligned} \left(-z \frac{d}{dz}\right) Z(x(n)) \\ \left(-z \frac{d}{dz}\right)^k Z(x(n)) \end{aligned} \\ \hline \end{array} \]
Par ailleurs, elle vérifie le théorème suivant, dit de la valeur initiale et de la valeur finale :
- $\lim_{|z|\to+\infty}F(z)=x(0).$
- Si la suite $(x(n))$ admet une limite, alors
$$lim_{z\to 1}(z-1)F(z)=\lim_{n\to+\infty}x(n).$$
