Formulaire - Suites récurrentes linéaires
Une suite $(u_n)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n.$$ On étudie ces suites en introduisant l'équation caractéristique $$r^2=ar+b$$ et on étudie les suites vérifiant une telle relation de récurrence en fonction des racines de cette équation caractéristique.
- Premier cas : l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, $r_1$ et $r_2$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n.$$ Les réels $\lambda$ et $\mu$ peuvent être déterminés à partir de la valeur de $u_0$ et $u_1$.
- Deuxième cas : l'équation caractéristique admet une racine double $r$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n+\mu nr^n.$$
- Troisième cas : l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjugués, de la forme $re^{i\alpha}$ et $re^{-i\alpha}$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n\cos(n\alpha)+\mu r^n \sin(n\alpha).$$
On s'intéresse maintenant à une suite $(u_n)$ vérifiant une relation $$u_{n+p}=a_1 u_{n+p-1}+\dots+a_p u_n,$$ où les $a_i$ sont des réels. La méthode est une généralisation directe de la précédente. On introduit l'équation caractéristique $$r^p=a_1r^{p-1}+\dots+a_p$$ dont les racines réelles sont $r_1,\dots,r_q$, de multiplicité respective $s_1,\dots,s_q$, et les racines complexes conjuguées sont $\rho_1e^{\pm i\alpha_1},\dots,\rho_le^{\pm i\alpha_l}$, de multiplicité respective $t_1,\dots,t_l$. La suite $(u_n)$ s'écrit alors : $$u_n=\sum_{i=1}^q \sum_{s=0}^{s_i-1} \lambda_{i,s}n^s r_i^n+\sum_{i=1}^l \sum_{t=0}^{t_i-1} \big(\mu_{i,t}\cos(n\alpha_i)+\gamma_{i,t}\sin(n\alpha_i)\big)n^t\rho_i^n.$$