$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire et méthode - Suites et séries de fonctions

Convergence simple - convergence uniforme - définitions
  Soit $I$ un intervalle, $(f_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si : $$\forall \varepsilon>0,\ \forall x\in I,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \varepsilon.$$ On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si : $$\forall \varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall x\in I,\ \forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \varepsilon.$$ La convergence simple traduit que pour chaque $x\in I$, la suite de réels $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$. La convergence uniforme impose en plus que la convergence se fait toujours à la même vitesse. Dire que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ signifie encore que la suite $(\|f_n-f\|_\infty)_n$ tend vers 0.

Continuité - Dérivabilité, etc….

Les théorèmes suivants sont à connaitre très précisément :
Continuité - Soit $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $I$ dans $\mathbb R$ qui converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $f$ est continue.
Dérivabilité - Soit $I$ un intervalle, $(f_n)$ une suite de fonctions $C^1$ de $I$ dans $\mathbb R$ et $f,g:I\to\mathbb R$. On suppose que :
  1. $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$.
  2. La suite de fonctions $(f'_n)$ converge uniformément vers $g$ sur $I$.
Alors la fonction $f$ est de classe $C^1$ et $f'=g$.
Caractère $C^\infty$ - Soit $I$ un intervalle, $(f_n)$ une suite de fonctions $C^\infty$ de $I$ dans $\mathbb R$. On suppose que pour tout entier $k\geq 0$, la suite $(f_n^{(k)})$ converge uniformément vers une fonction $g_k:I\to\mathbb R$ sur $I$. Alors la fonction $g_0$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ et $g_0^{(k)}=g_k$.
Permutation limite/intégrale - Soit $I=[a,b]$ un segment et $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $I$ dans $\mathbb R$ qui converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_n(t)dt=\int_a^b \lim_n f_n(t)dt=\int_a^b f(t)dt.$$
On peut aussi souvent appliquer le théorème de convergence dominée pour permuter une limite et une intégrale.
Théorème d'interversion des limites - Soit $I=[a,b[$, $(f_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ qui converge uniformément vers $f$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $(f_n)$ admet une limite $l_n$ en $b$. Alors la suite $(l_n)$ converge vers une limite $l$, $f$ admet une limite en $b$ et $\lim_{x\to b}f(x)=l$.

Ce théorème est souvent appliqué avec $b=+\infty$.

Séries de fonctions

  • Lien avec les suites - Si $(u_n)$ est une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$, s'intéresser à la convergence simple ou uniforme de la série $\sum_n u_n$ signifie s'intéresser à la convergence simple ou uniforme de la suite des sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$. Ainsi, tous les théorèmes relatifs aux suites de fonctions sont valables. Par exemple,
    • si chaque $u_n$ est continue et si la série $\sum_n u_n$ converge uniformément sur $I$ vers $S$, alors $S$ est continue.
    • si chaque $u_n$ est $C^1$, si $\sum_n u_n$ converge simplement vers $S$ et si $\sum_n u_n'$ converge uniformément sur $I$ vers $g$, alors $S$ est $C^1$ et $S'=g$.
  • Convergence normale - Soit $I$ un intervalle et $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$. On dit que la série $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$ si la série numérique $\sum_n \|u_n\|_\infty$ est convergente. Prouver la convergence normale de $\sum_n u_n$ sur $I$ revient donc à trouver une inégalité $$|u_n(x)|\leq a_n$$ valable pour tout $x\in I$, où $(a_n)$ est une suite telle que la série $\sum_n a_n$ converge.

    L'intérêt de la notion de convergence normale réside dans l'implication : $$\textbf{convergence normale}\implies\textbf{convergence uniforme}.$$ Ainsi, si la série $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$ de somme $S$, et si les fonctions $u_n$ sont toutes continues sur $I$, $S$ est aussi continue.
  • Théorème de permutation des limites - Le théorème de permutation des limites prend la forme suivante pour les séries de fonctions :
    Soit $I=[a,b[$, $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ telle que la série $\sum_n u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $(u_n)$ admet une limite $l_n$ en $b$. Alors la série $\sum_n l_n$ converge vers une limite $l$, $S$ admet une limite en $b$ et $\lim_{x\to b}S(x)=l$.

Comment faire en pratique

  • Comment prouver que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$? - Il faut alors oublier le paramètre de la fonction. On fixe $x\in I$ et on cherche à prouver que la suite numérique $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$. Il s'agit donc d'un problème de convergence de suite de nombres réels, pas vraiment d'un problème de convergence de suites de fonctions.
  • Comment prouver que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$? -
    • Méthode 1 : on calcule (par exemple par une étude de fonctions) $\|f_n-f\|_\infty$ et on prouve que cette quantité tend vers 0.
    • Méthode 2 : on majore $|f_n(x)-f(x)|$ par une quantité indépendante de $x\in I$ et qui tend vers 0. Votre rédaction doit alors ressembler à la suivante :
      Soit $x\in I$. Alors, blahblahblah mon raisonnement. On en déduit que $$|f_n(x)-f(x)|\leq a_n,$$ où $a_n$ ne dépend pas de $x$. Or, la suite $(a_n)$ est une suite qui tend vers 0. Donc $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$.
  • Comment prouver que $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $I$? -
    • Méthode 1 : on calcule (par exemple par une étude de fonctions) $\|f_n-f\|_\infty$ et on prouve que cette quantité ne tend pas vers 0.
    • Méthode 2 : on trouve une suite $(x_n)$ vivant dans $I$ telle que $(f_n(x_n)-f(x_n))$ ne tend pas vers 0.
  • Comment prouver que $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$? -
    • Méthode 1 : on calcule (par exemple par une étude de fonctions) $\|u_n\|_\infty$ et on prouve que la série $\sum_n \|u_n\|_\infty$ converge.
    • Méthode 2 : on majore $|u_n(x)|$ par un réel $a_n$, indépendant de $x$, et tel que la série $\sum_n a_n$ converge. Votre rédaction doit alors ressembler à la suivante :
      Soit $x\in I$. Alors, blahblahblah mon raisonnement. On en déduit que $$|u_ n(x)|\leq a_n,$$ où $a_n$ ne dépend pas de $x$. Or, la série $\sum_n a_n$ est convergente (car....). Donc la série de fonctions $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$.
  • Comment prouver que $\sum_n u_n$ converge uniformément sur $I$? -
    • Méthode 1 : en prouvant la convergence normale.
    • Méthode 2 : démontrer que $\sum_n u_n$ converge uniformément, c'est démontrer que le reste $R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(x)$ tend uniformément vers 0. Pour prouver que $\sum_n u_n$ converge uniformément sur $I$, il faut donc obtenir une inégalité du type $$|R_n(x)|\leq \varepsilon_n$$ valable pour tout $x\in I$, où $(\varepsilon_n)$ tend vers 0. Pour cela, on utilise les techniques classiques des séries numériques, notamment le critère des séries alternées, ou la comparaison à une intégrale. Le critère des séries alternées est particulièrement utile, car il permet de majorer très facilement le reste.
  • Une bonne pratique de rédaction - La phrase "$(f_n)$ converge uniformément vers $f$" ne signifie rien. Il faut toujours écrire "$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$". De même pour la convergence normale.
  • Comment prouver que la limite d'une suite ou d'une série de fonctions est continue, $C^\infty$,...? - Il suffit d'appliquer les théorèmes généraux rappelés plus haut, et utiliser un argument de convergence uniforme sur $I$. On peut se contenter de faire un peu moins. Par exemple, si chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb R$ et si la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment $[a,b]\subset\mathbb R$ vers $f$, alors $f$ est continue sur $\mathbb R$ tout entier. Votre rédaction doit alors ressembler à :
    Soient $a<b$ des réels quelconques. Alors blahblahblah….
    Donc la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$. Chaque $f_n$ étant continue sur $[a,b]$, $f$ est elle-même continue sur $[a,b]$. $a$ et $b$ étant arbitraires, on en déduit que $f$ est en fait continue sur $\mathbb R$.
  • Une erreur à ne pas commettre - Ce n'est parce que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment $[a,b]$ inclus dans $\mathbb R$ que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb R$ tout entier.
  • Comment étudier le sens de variation d'une fonction limite? - Le problème est le suivant. Une suite $(f_n)$ ou une série $\sum u_n$ converge vers $f$ sur $I$. Quel est le sens de variation de $f$?
    • Méthode 1 : tous les $(f_n)$ (ou tous les $u_n$) sont croissants. C'est alors également le cas de $f$.
    • Méthode 2 : on applique le théorème de dérivation pour calculer $f'$, et on essaie de déterminer le signe de $f'$. Un cas particulier intéressant est celui où on peut déterminer le signe de $f'$ par application du critère des séries alternées.
  • Comment étudier la limite d'une fonction limite? - Le problème est le suivant. Une suite $(f_n)$ ou une série $\sum u_n$ converge vers $f$ sur $I$. On cherche si $f$ possède une limite aux bornes de $I$.
    • Méthode 1 : on applique le théorème d'interversion des limites.
    • Méthode 2 : on se laisse guider par l'énoncé.