$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de mathématiques >

Formulaire et méthodes - Série de Fourier

Coefficients de Fourier

Soit $f$ une fonction $2\pi$-périodique, continue par morceaux (ou intégrable). Les coefficients de Fourier exponentiels de $f$ sont définis par $$c_n(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt,\ n\in\mathbb Z.$$ Les coefficients de Fourier trigonométriques sont définis par les formules \begin{align*} a_0(f)&=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt\\ a_n(f)&=\frac 1{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt,\ n\geq 1\\ b_n(f)&=\frac 1{\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt,\ n\geq 1. \end{align*}

Méthodes pratiques de calcul :

  • Intervalle d'intégration : on peut remplacer ci-dessus l'intervalle $[0,2\pi]$ par n'importe quel autre intervalle de longueur $2\pi$.
  • Parité : si $f$ est paire, les coefficients de Fourier en sinus, $b_n(f),$ sont nuls. Si $f$ est impaire, les coefficients de Fourier en cosinus, $a_n(f),$ sont nuls.
Séries de Fourier

Soit $f$ une fonction $2\pi$-périodique, continue par morceaux (ou intégrable). On appelle série de Fourier de $f$ la série $$a_0(f)+\sum_{n\geq 1}\big(a_n(f)\cos(nt)+b_n(f)\sin(nt)\big).$$ On peut également l'exprimer avec les coefficients exponentiels $$\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)e^{int}.$$ On dit que $f$ est développable en série de Fourier si la série de Fourier de $f$ converge vers $f$ sur $\mathbb R.$

Théorème de Dirichlet: Soit $f$ une fonction continue, $C^1$ par morceaux, $2\pi$-périodique. Alors la série de Fourier de $f$ converge normalement vers $f.$

Attention, il existe des fonctions continues qui ne sont pas somme de leur série de Fourier !

Théorème de Parseval : Soit $f$ une fonction continue par morceaux, $2\pi-$périodique. Alors on a les égalités suivantes : \begin{align*} \frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n(f)|^2\\ &=|a_0(f)|^2+\frac 12\sum_{n\geq 1}\left(|a_n(f)|^2+|b_n(f)|^2\right). \end{align*}
Cas des fonctions T-périodiques

Si $f$ est continue $T-$périodique, il est usage d'introduire sa pulsation définie par $\omega=2\pi/T.$ Les coefficients de Fourier de $f$ sont alors définis par \begin{align*} c_n(f)&=\frac 1T\int_0^T f(t)e^{-in\omega t}dt,\ n\in\mathbb Z\\ a_0(f)&=\frac1{T}\int_0^{T}f(t)dt\\ a_n(f)&=\frac 2{T}\int_0^{T}f(t)\cos(n\omega t)dt,\ n\geq 1\\ b_n(f)&=\frac 2{T}\int_0^{T}f(t)\sin(n \omega t)dt,\ n\geq 1. \end{align*} La série de Fourier de f est définie désormais par $$a_0(f)+\sum_{n\geq 1}\big(a_n(f)\cos(n\omega t)+b_n(f)\sin(n\omega t)\big).$$ Les théorèmes précédents restent vrais, l'égalité de Parseval s'écrivant désormais : $$\frac1{T}\int_0^T|f(t)|^2dt=|a_0(f)|^2+\frac 12\left(\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n(f)|^2+|b_n(f)|^2\right).$$