Formulaire - Propriétés métriques des courbes
On étudie un arc paramétré $(I,f)$.Longueur d'une courbe
Dans la suite, on suppose que les fonctions sont $C^1$.
- Pour un arc en coordonnées cartésiennes $t\mapsto (x(t),y(t)$ sur l'intervalle $[a,b]$, la longueur du support vaut $$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt.$$ En particulier, la longueur de la courbe représentative d'une fonction $y=f(x)$ définie sur $[a,b]$ est donnée par $$\int_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}dt.$$
- Pour un arc en coordonnées polaires $\theta\mapsto \rho(\theta)$, pour $\theta\in[\theta_1,\theta_2]$, la longueur du support est donnée par $$\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}d\theta.$$
Abscisse curviligne
Si $(I,f)$ est un arc paramétré de classe $C^1$, la dérivée de l'abscisse curviligne vérifie
$$\frac{ds}{dt}=\|f'(t)\|=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}.$$
Repère de Frénet
En un point $M(t)$ de la courbe, le vecteur tangent unitaire est noté
$$\vec T(t)=\frac{f'(t)}{\|f'(t)\|}.$$
Son image par rotation d'angle $\pi/2$ est noté $\vec N(t)$. Le repère de Serret-Frénet au point $M(t)$
est le repère orthonormé direct $(M(t),\vec T(t),\vec N(t))$.
Détermination angulaire
Si l'arc $(I,f)$ est de classe $C^n$, $n\geq 1$, alors il existe une application
$\alpha$ de classe $C^{n-1}$ sur $I$ telle que, pour tout $t\in I$,
$$\vec T(t)=\cos(\alpha(t))\vec i+\sin(\alpha(t))\vec j.$$
La fonction $\alpha$ s'appelle la détermination angulaire de l'arc au point $M(t)$.
Courbure
Elle est définie, si on a un paramétrage par abscisse curviligne de l'arc, par la formule :
$$\frac{d\vec T}{ds}(s)=c(s)\vec N(s).$$
On la calcule de la façon suivante :
- Formule générale : $$c(t)=\frac{\det(f'(t),f''(t))}{\left(\frac{ds}{dt}\right)^3}.$$
- Cas où on connait une détermination angulaire : $$c(t)=\frac{\frac{d\alpha}{dt}}{\frac{ds}{dt}}.$$
- Cas des courbes en coordonnées cartésiennes : $$c=\frac{x'y''-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.$$
- Cas des courbes en coordonnées polaires : $$c=\frac{\rho^2+2\rho'^2-\rho\rho''}{(\rho^2+\rho'^2)^{3/2}}.$$