Formulaire - Intégration en coordonnées polaires, cylindriques, sphériques
Formule du changement de variables dans une intégrale multiple
Théorème : Soient $E$ et $F$ deux ouverts de $\mathbb R^n$ et $\Phi:E\to F$ une bijection de classe $C^1$
dont le déterminant jacobien ne s'annule pas. Alors, pour toute fonction intégrable $f:F\to\mathbb R$, on a
$$\int\!\!\dots\!\!\int_F f(x_1,\ldots,x_n) \;\mathrm dx_1\ldots\mathrm dx_n = \int\!\!\dots\!\!\int_E f\bigl(\Phi(u_1,\ldots,u_n)
\bigr)\left|\det J_\Phi(u_1,\ldots,u_n)\right|~\mathrm du_1\ldots\mathrm du_n.$$
Intégration en coordonnées polaires
Le changement de variables en coordonnées polaires correspond à poser $(x,y)=(r\cos \theta,r\sin\theta)$,
c'est-à-dire avec les notations du théorème à considérer $\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$. On a :
$$\iint_F f(x,y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_E f(r\cos\theta,r\sin\theta)r \;\mathrm dr\mathrm d \theta.$$
Intégration en coordonnées cylindriques
Le changement de variables en coordonnées cylindriques correspond à poser $(x,y,z)=(r\cos \theta,r\sin\theta,z)$,
c'est-à-dire avec les notations du théorème à considérer $\Phi(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$. On a :
$$\iiint_F f(x,y,z) \;\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz = \iiint_E f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r \;\mathrm dr\mathrm d \theta\mathrm dz.$$
Intégration en coordonnées sphériques
Le changement de variables en coordonnées sphériques correspond à poser $(x,y,z)=(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)$,
c'est-à-dire avec les notations du théorème précédent à considérer $\Phi(\rho,\theta,\phi)=(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)$. On a :
$$\iiint_F f(x,y,z) \;\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_E f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\rho^2 \sin \phi \;\mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi.$$