$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Formulaire de mathématiques >

Comment étudier une intégrale impropre?

Dans toute la suite, on considère une fonction $f$ continue par morceaux sur un intervalle $[a,b[$, avec éventuellement $b=+\infty$. On cherche à donner une signification à $\int_a^b f(t)dt$.

Définitions
  On dit que $\int_a^b f(t)dt$ converge si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $b$. On note alors cette limite par $\int_a^b f(t)dt$. On dit que la fonction $f$ est intégrable sur $I$ si $\int_a^b |f(t)|dt$ converge.
Deux critères à savoir
  • Le critère de Cauchy -$\int_a^b f(t)dt$ converge si et seulement si : $$\forall \varepsilon>0, \exists c\in]a,b[\textrm{ tel que }\forall x,y\in]c,b[\ \left|\int_x^y f(t)dt\right|<\varepsilon.$$ Le critère de Cauchy est surtout employé pour prouver la divergence d'intégrales impropres.
  • La convergence absolue - Si $\int_a^b |f(t)|dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge. Autrement dit, si une fonction est intégrable sur $I=]a,b[$, alors son intégrale sur $I$ est convergente. Bien entendu, la réciproque est fausse.
Intégrales de référence - les intégrales de Riemann
Il faut absolument savoir sans aucune hésitation que : $$\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}\textrm{ converge }\iff \alpha>1.$$ $$\int_0^1\frac{dt}{t^\alpha}\textrm{ converge }\iff \alpha<1.$$ En particulier, $\frac{1}{t}$ est un cas limite (divergent) aussi bien en zéro qu'en $+\infty$. Et il faut faire attention à ce que les conditions en 0 et en $+\infty$ sont contraires.
Théorèmes de comparaison
Ils vont permettre de ramener l'étude de la convergence d'une intégrale impropre à l'étude de la convergence d'une intégrale impropre plus simple (ou que l'on connait déjà, comme les intégrales de Riemann), dans le cas où les fonctions sont positives au voisinage de $\mathbf b$ (ou ont toujours le même signe).
  • Majoration -Soient $f,g:[a,b[\to[0,+\infty[$ telles que $0\leq f\leq g$ au voisinage de $b$. Alors :
    • Si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge.
    • Si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge.
  • Domination -Soient $f,g:[a,b[\to[0,+\infty[$ telles que $f=_bo(g)$. Alors :
    • Si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge.
    • Si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge.
  • Equivalent -Soient $f,g:[a,b[\to[0,+\infty[$ telles que $f\sim_b g$. Alors $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature.
Comment étudier une intégrale impropre
  • Cas où on connait une primitive - C'est le cas le plus facile, il suffit d'appliquer la définition. Par exemple, $\int_0^{+\infty}e^{-t}dt$ converge car $$\int_0^{X}e^{-t}dt=\left[-e^{-t}\right]_0^X=1-e^{-X}$$ admet une limite lorsque $X$ tend vers $+\infty$. De plus, on obtient que $\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1$.
  • Par comparaison - Le plus souvent, on ne peut pas déterminer une primitive. Dans ce cas, il faut COMPARER la fonction à des fonctions dont on connait déjà la nature de l'intégrale impropre, c'est-à-dire essentiellement aux intégrales de Riemann. Pour cela on peut
    • Utiliser les comparaisons usuelles entre fonctions classiques, etc... Par exemple, $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge. En effet, la fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $[0,+\infty[$ et, au voisinage de $+\infty$, on a $e^{-t^2}=o(1/t^2)$. Puisque $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}$ converge, il en est de même de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
    • Dans les cas un peu plus délicats, on utilise l'outil de base pour comparer des fonctions, les développements limités. Par exemple, $\int_1^{+\infty}\left(\sqrt{1+\frac1x}-\sqrt{1-\frac1x}\right)dx$ diverge car $$\sqrt{1+\frac1x}-\sqrt{1-\frac1x}=1+\frac{1}{2x}+o\left(\frac1{x}\right)-1+\frac{1}{2x}+o\left(\frac1x\right)=\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\sim_{+\infty}\frac 1x.$$
  • Cas des fonctions qui ne gardent pas un signe constant - Il faut d'abord essayer la convergence absolue. Il y a aussi une technique à savoir, qui permet de prouver la convergence de certaines intégrales trigonométriques en utilisant une intégration par parties. Par exemple, on prouve que $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ converge de la façon suivante. On réalise une intégration par parties en intégrant le sinus et en dérivant $\frac{1}{t}$ et on trouve, pour tout $X\geq 1$, \begin{eqnarray*}\int_1^X\frac{\sin t}{t}dt&=&\left[\frac{-\cos t}t\right]_1^X-\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt\\ &=&-\frac{\cos X}X+\frac{\cos 1}1-\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt. \end{eqnarray*} Lorsque $X\to+\infty$, $\frac{\cos X}X$ tend vers 0. De plus, on a $$\left|\frac{\cos t}{t^2}\right|\leq\frac1{t^2}.$$ L'intégrale impropre $\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}{t^2}dt$ converge donc absolument. En particulier, $\int_1^X\frac{\cos t}{t^2}dt$ admet une limite lorsque $X$ tend vers $+\infty$. On en conclut qu'il en est de même de $\int_1^X\frac{\sin t}tdt$.