Formulaire de Mathématiques : Transformée de Fourier
Définition : Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle
transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier,
la normalisation peut changer. On rencontre par exemple souvent la définition :
Propriétés
Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant :
$$ \begin{array}{c|c} \textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\ \hline f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\ f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\ (-ix)^n f(x)&\hat f^{(n)}(t)\\ f^{(p)}(x)&(it)^p \hat f(t)\\ f\star g&\sqrt{2\pi} \hat f \cdot \hat g\\ f\cdot g&\frac 1{\sqrt{2\pi}}\hat f\star \hat g\\ f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t). \end{array}$$ En outre, pour tout $f$ de $L^1(\mathbb R)$, on prouve que $\hat f$ est continue et que $\hat f$ tend vers 0 en l'infini. Enfin, si f est $\mathcal C^k$, il existe une constante $A>0$ telle que : $$\forall x\in \mathbb R,\ |\hat f(x)|\leq \frac A{(1+|x|)^p}.$$ On dit que la transformée de Fourier échange la régularité et la décroissance en l'infini.Transformées de Fourier classiques
Inversion de la transformée de Fourier
Sous certaines conditions, il est possible d'inverser la transformée de Fourier, c'est-à-dire de retrouver $f$ en connaissant $\hat f$.
Théorème : Si $f$ et $\hat f$ sont tous deux dans $L^1(\mathbb R)$, on pose :
On en déduit que deux fonctions intégrables qui ont même transformée de Fourier sont égales presque partout.