$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formulaire - Fonctions logarithmes

Fonction logarithme népérien
  • Notation : $\ln x$
  • Domaine de définition : $]0,+\infty[$
  • Propriétés opératoires : $$\forall a,b>0,\ \forall n\geq 1,\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\ \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,\ \ln(a^n)=n\ln a.$$
  • Dérivée : $x\mapsto \frac 1x$
  • Sens de variation : croissante
  • Limites aux bornes : $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.
  • Courbe représentative :
Fonction logarithme de base $a$
  • Définition et notation : pour $a>0$ et $a\neq 1$, $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$.
  • Domaine de définition : $]0,+\infty[$
  • Propriétés opératoires : $$\forall x,y>0,\ \forall n\geq 1,\ \log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y),\ \log_a\left(\frac xy\right)=\log_a x-\log_a y,\ \log_a(x^n)=n\log_a x.$$
  • Dérivée : $x\mapsto \frac 1{(\ln a)x}$
  • Sens de variation : croissante si $a>1$, décroissante si $a<1$.
  • Limites aux bornes : $$\textrm{Si }a>1,\ \lim_{x\to 0}\log_a x=-\infty, \lim_{x\to+\infty}\log_a x=+\infty.$$ $$\textrm{Si }a<1,\ \lim_{x\to 0}\log_a x=+\infty, \lim_{x\to+\infty}\log_a x=-\infty.$$
  • Courbe représentative :