$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle}
$$
Bibm@thFormulaire - Fonctions exponentielles
Fonction exponentielle
- Notation : $e^x$ ou $\exp(x)$;
- Domaine de définition : $\mathbb R$;
- Propriétés opératoires :
$$\forall a,b\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\ \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),\ \exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)},\ \exp(na)=(\exp a)^n.$$
- Dérivée : $\exp(x)$;
- Sens de variation : croissante
- Limites aux bornes : $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$, $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$;
- Courbe représentative :
Fonctions exponentielles de base $a$
- Définition et notation : pour $a>0$, $a^x=e^{x\ln a}$;
- Domaine de définition : $\mathbb R$;
- Propriétés opératoires :
$$\forall x,y\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\ a^{x+y}=a^xa^y,\ a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y},\ a^{nx}=(a^x)^n.$$
- Dérivée : $\ln(a)a^x$;
- Sens de variation : croissante si $a>1$, décroissante si $a<1$, constante si $a=1$.
- Limites aux bornes :
$$\textrm{si }a>1,\ \lim_{x\to-\infty}a^x=0, \lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty;$$
$$\textrm{si }a<1,\ \lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty, \lim_{x\to+\infty}a^x=0.$$
- Courbe représentative :
