$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Formulaire de mathématiques >

Formulaire : Variation de la constante



  Il s'agit d'une méthode pour déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (sans second membre).

Premier ordre :
  Si y0 est une solution de l'équation homogène, on cherche une solution particulière sous la forme y(t)=z(t)y0(t).

Exemple : Soit à résoudre :
  1. On résout l'équation homogène , dont la solution générale est donnée par .
  2. On cherche une solution particulière sous la forme , d'où :
    On en déduit que , et donc .


Second ordre :
  On considère une équation :
Si (y1,y2) est une base de solutions de l'équation sans second membre, on cherche une solution y sous la forme :
En particulier, l'expression de y' entraîne que :
L'introduction des valeurs de y et y' dans l'équation différentielle donne une deuxième équation en , ce qui donne avec la précédente un système différentiel linéaire d'ordre 2 en , que l'on résout.

Exemple : Soit à résoudre :
Une base de l'équation sans second membre est donnée par :
On cherche donc une solution y vérifiant :
Remarquons que l'on a :
D'où, en introduisant dans l'équation :
Ce système est équivalent à :
soit :
En particulier, est une solution particulière, et les solutions sont de la forme :