$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Formulaire de mathématiques >

Formulaire : Equations différentielles à coefficients constants



Premier ordre :
  L'équation sans second membre est :
  • Si a=0, les solutions sont .
  • Si a est non nul, les solutions sont les fonctions de la forme $y(t)=\lambda e^{-at}$, $\lambda\in\mathbb R$.
Pour rechercher les solutions avec second membre, on applique les mêmes méthodes que pour le second ordre (voir après).


Second ordre, sans second membre :
  L'équation sans second membre est :
  • Si l'équation caractéristique ar2+br+c=0 a deux racines réelles r1 et r2, les solutions de (E0) sont les fonctions de la forme :
  • Si l'équation caractéristique ar2+br+c=0 a une racine double r0 (nécessairement réelle), les solutions de (E0) sont les fonctions de la forme :
  • Si l'équation caractéristique ar2+br+c=0 a deux racines complexess conjuguées , les solutions de (E0) sont les fonctions de la forme :
Dans le cas où on résout l'équation sur C, c'est plus facile car on a que le premier ou le deuxième cas!

Second ordre, avec second membre :
  On cherche à résoudre l'équation :
Une solution est somme d'une solution générale et d'une équation particulière. Il suffit de rechercher une solution particulière. On l'obtient parfois en pensant au phénomène physique amenant à l'équation différentielle (par exemple, l'état du système en régime stationnaire,etc...).
  • Si d est un polynôme de degré n, on cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme :
    • de degré n, si c est non nul.
    • de degré n+1, si c est nul, b est non nul.
    • de degré n+2, si c est nul et b est nul.
  • Si , m complexe, P polynôme de degré n, on cherche une solution particulière sous la forme , où Q est un polynôme :
    • de degré n si m n'est pas racine de l'équation caractéristique ar2+br+c=0.
    • de degré n+1 si m est racine simple de l'équation caractéristique ar2+br+c=0.
    • de degré n+2 si m est racine double de l'équation caractéristique ar2+br+c=0.
  • Si , on se ramène au cas précédent, en utilisant par exemple que :
Ordre plus grand :
On cherche à résoudre :
Le polynôme caractéristique associé est :
Si le polynôme caractéristique se factorise (sur C) sous la forme :
avec . Alors la famille
avec j dans {1,...,r}, a dans {0,...,lj-1}, k dans {1,...,s} et b dans {0,...,mk-1} est un système fondamental de solutions de (E0). Dans le cas où il existe un second membre, les méthodes sont là aussi les mêmes que pour l'ordre 2.