Formulaire - Courbes paramétrées en polaire
On donne ici des techniques générales d'étude d'une courbe paramétrée en coordonnées polaires $\theta\mapsto\rho(\theta)$ définie sur $D$. Le repère polaire associé à l'angle $\theta$ sera noté $(O,\vec u_{\theta},\vec v_{\theta})$. Ces vecteurs sont définis par $$\left\{ \begin{array}{rcl} \vec u_\theta&=&\cos\theta\vec i+\sin\theta\vec j\\ \vec v_\theta&=&-\sin\theta\vec i+\cos\theta\vec j. \end{array} \right. $$Réduction de l'intervalle d'étude - Symétries et rotations
- Périodicité et rotation : si $\rho(\theta+T)=\rho$ (et $\theta\in D\iff \theta+T\in D$), alors la courbe paramétrée est invariante par rotation d'angle $T$. Le cas le plus intéressant se produit lorsque $\theta=\frac{k2\pi}{p}$. On peut alors restreindre l'intervalle d'étude à tout intervalle de longueur $T$. On déduira le reste de la courbe paramétrée en effectuant $p-1$ rotations, d'angles respectifs $T,2T,\dots,(p-1)T$.
- Parité et symétrie par rapport à $(Ox)$ : Si $\rho$ est paire, la courbe est invariante par réflexion par rapport à l'axe $(Ox)$. On peut restreindre le domaine d'étude à $[0,+\infty[$, puis construire toute la courbe en effectuant une symétrie d'axe $(Ox)$.
- Symétrie 1 : plus généralement, si $\rho(\theta_0-\theta)=\rho(\theta)$, alors on peut restreindre le domaine d'étude à $[\theta_0/2,+\infty[$ et obtenir le tracé complet en effectuant la symétrie par rapport à la droite passant par $O$ et dirigée par $\vec u_{\theta_0/2}$.
- Imparité et symétrie par rapport à $(Oy)$ : Si $\rho$ est impaire, la courbe est invariante par réflexion par rapport à l'axe $(Oy)$. On peut restreindre le domaine d'étude à $[0,+\infty[$, puis construire toute la courbe en effectuant une symétrie d'axe $(Oy)$.
- Symétrie 2 : plus généralement, si $\rho(\theta_0-\theta)=-\rho(\theta)$, alors on peut restreindre le domaine d'étude à $[\theta_0/2,+\infty[$ et obtenir le tracé complet en effectuant la symétrie par rapport à la droite passant par $O$ et dirigée par $\vec v_{\theta_0/2}$.
Branches infinies
- Au voisinage de $\theta_0$ : si $\rho(\theta)\to\pm\infty$ lorsque $\theta$ tend vers $\theta_0$, alors la courbe
admet une branche infinie de direction asymptotique la droite d'angle polaire $\theta=\theta_0$. Pour étudier plus précisément
cette branche infinie, on travaille dans le repère $(O,\vec u_{\theta_0},\vec v_{\theta_0})$. Le point $M(\theta)$ de la courbe
a pour coordonnées dans ce repère
$$X(\theta)=\rho(\theta)\cos(\theta-\theta_0)\textrm{ et }Y(\theta)=\rho(\theta)\sin(\theta-\theta_0).$$
$X(\theta)$ tend vers $\pm\infty$ lorsque $\theta$ tend vers $\theta_0$ et la nature de la branche infinie est
donnée par le comportement de $Y(\theta)$ :
- Si $\lim_{\theta\to\theta_0}Y(\theta)=l$, alors la courbe admet une asymptote d'équation $Y=l$ dans le repère $(O,\vec u_{\theta_0},\vec v_{\theta_0})$.
- Si $\lim_{\theta\to\theta_0}Y(\theta)=\pm\infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction la droite d'angle polaire $\theta=\theta_0$.
- Au voisinage de $+\infty$ : on distingue plusieurs cas :
- Si $\rho(\theta)\to\pm\infty$, alors la courbe présente une branche infinie en forme de spirale (qui s'écarte de plus en en plus de l'origine).
- Si $\rho(\theta)\to a\neq 0$, alors la courbe est une spirale qui s'enroule autour du cercle de centre $O$ et de rayon $|a|$, appelé cercle asymptote de la courbe $C$.
- Si $\rho(\theta)\to 0$, alors la courbe se présente comme une spirale qui s'enroule autour du point $O$, qui est aussi appelé point asymptote.
Etude locale d'un arc paramétré - tangente
Pour une courbe paramétrée en coordonnées polaires, seule l'origine peut être un point stationnaire.
Ceci se produit si et seulement si $\rho(\theta)=0$ (on est à l'origine) et $\rho'(\theta)=0$.
- Tangente ailleurs qu'en l'origine : Soit $V$ l'angle fait entre la tangente à la courbe en $\theta$ et la droite $(O,\vec u_{\theta})$. Alors $$\tan V=\frac{\rho(\theta)}{\rho'(\theta)}, \textrm{ avec }V=\pi/2\textrm{ si }\rho'(\theta)=0.$$ En particulier, en un point $M(\theta)$ de la courbe autre que l'origine tel que $\rho'(\theta)=0$, la tangente à la courbe en $M(\theta)$ est orthogonale à la droite $(OM(\theta))$.
- Tangente en l'origine : si $\rho(\theta)=0$, la tangente à l'origine correspondante est toujours dirigée par le vecteur $\vec u_\theta$.