Formulaire - Tout sur les coniques - Bibm@th
Soit une courbe $(C)$ dans le plan d'équation $$ax^2+bxy+cy^2+px+qy+r=0$$ dont on cherche à connaitre la nature et les éléments caractéristiques. On commence par calculer le discriminant de la conique : $$\Delta=b^2-4ac.$$ On distingue 3 cas :
- $\Delta<0$ : $(C)$ est du genre ellipse, c'est-à-dire $(C)$ est ou une ellipse, ou un point, ou l'ensemble vide;
- $\Delta>0$ : $(C)$ est du genre hyperbole, c'est-à-dire $(C)$ est ou une hyperbole ou la réunion de deux droites concourantes.
- $\Delta=0$ : $(C)$ est du genre parabole, c'est-à-dire $(C)$ est ou une parabole, ou la réunion de deux droites parallèles, ou une droite, ou l'ensemble vide.
Pour déterminer l'équation réduite, on trouve d'abord un changement de repère par rotation qui élimine les termes en $xy.$ Pour cela, on considère $\theta$ défini par $$\left\{ \begin{array}{rcll} \theta&=&\frac{\pi}4&\textrm{ si }a=c\\ \tan(2\theta)&=&\frac{b}{a-c}&\textrm{ sinon.} \end{array}\right.$$ Si un point $M$ a pour coordonnées $(x,y)$ dans le repère initial et $(X,Y)$ dans le repère obtenu après rotation d'angle $\theta,$ alors on a la relation suivante : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&\cos(\theta)X-\sin(\theta)Y\\ y&=&\sin(\theta)X+\cos(\theta)Y \end{array}\right.$$ Dans le nouveau repère, la courbe a pour équation $$AX^2+CY^2+PX+QY+R=0.$$ Il faut alors distinguer plusieurs cas :
- Si le produit $AC$ est non-nul (ce qui correspond au genre ellipse ou hyperbole), on peut reconnaitre deux fois le début d'un trinôme du second degré : \begin{eqnarray*} AX^2+PX=A\left(X+\frac P{2A}\right)^2-\frac{P^2}{4A^2}\\ CY^2+QY=C\left(Y+\frac Q{2C}\right)^2-\frac{Q^2}{4C^2}\\ \end{eqnarray*} En effectuant un nouveau changement de repère par translation, ie en posant $$\left\{\begin{array}{rcl} X'&=&X+\frac{P}{2A}\\ Y'&=&Y+\frac{Q}{2C} \end{array}\right.$$ on obtient l'équation réduite $$A' X^2+C' Y^2=R'.$$ On peut alors discuter...
- Si le produit $AC$ est nul, alors par exemple $A=0,$ et on effectue seulement la translation sur la seconde coordonnée. On trouve une équation réduite de la forme $$CY'^2+DX'=F$$ facile à analyser.
Soit $(C)$ une conique de foyer $F,$ d'excentricité $e$ et de directrice $D.$ Cette conique admet une équation polaire "facile" dans un repère orthonormé de centre son foyer $F.$ Soit $K$ le projeté orthogonal de $F$ sur la directrice $D.$ On note $$\left\{ \begin{array}{rcl} \phi&=&(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{FK})\\ p&=&e\times FK\textrm{ (paramètre de la conique)}. \end{array}\right.$$ Alors l'équation polaire de la conique est : $$\rho(\theta)=\frac{p}{1+e\cos(\theta-\phi)}.$$
- Equation réduite : soit $H$ le projeté orthogonal de $F$ sur la directrice $D$ et notons $p=FH.$ Dans le repère orthonormé de centre le milieu de $[FH]$ et où $F$ a pour coordonnées $F(p/2,0),$ l'équation de la parabole est $$y^2=2px.$$
- Foyer, directrice, sommet : dans le repère précédent, le foyer a pour coordonnées $F(p/2,0),$ la directrice a pour équation $x=-p/2,$ et le sommet de la parabole est le centre du repère.
- Tangente : l'équation de la tangente en un point $(x_0,y_0)$ de la parabole est $$yy_0=p(x+x_0).$$
- Paramétrage de la parabole : dans le repère précédent, la parabole peut se décrire par la courbe paramétrée : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=&\frac{t^2}{2p}\\ y(t)&=&t \end{array}\right.$$
- Equation réduite : $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$
- Liens entre les différents paramètres : $$c^2=a^2-b^2,\ e=\frac ca,\ a=\frac{p}{1-e^2},\ b=\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}.$$
- Foyers, directrices, sommets : dans le repère précédent, les foyers ont pour coordonnées $F(c,0)$ et $F'(-c,0),$ les directrices ont pour équation $x=a^2/c$ et $x=-a^2/c.$ Les sommets sont les points $(a,0),$ $(-a,0),$ $(0,b)$ et $(0-b).$
- Tangente : l'équation de la tangente en un point $(x_0,y_0)$ de l'ellipse est $$\frac{xx_0}a+\frac{yy_0}b=1.$$
- Paramétrage de l'ellipse : dans le repère précédent, l'ellipse peut se décrire par la courbe paramétrée : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=&a\cos(t)\\ y(t)&=&b\sin(t) \end{array}\right.$$
- Equation réduite : $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$
- Liens entre les différents paramètres : $$c^2=a^2+b^2,\ e=\frac ca,\ a=\frac{p}{e^2-1},\ b=\frac{p}{\sqrt{e^2-1}}.$$
- Foyers, directrices, sommets, asymptotes : dans le repère précédent, les foyers ont pour coordonnées $F(c,0)$ et $F'(-c,0),$ les directrices ont pour équation $x=a^2/c=a/e$ et $x=-a^2/c=-a/e.$ Les sommets sont les points $(a,0),$ $(-a,0).$ Les asymptotes ont pour équation $$y=\frac bax\textrm{ et }y=-\frac ba x.$$
- Tangente : l'équation de la tangente en un point $(x_0,y_0)$ de l'hyperbole est $$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1.$$
- Paramétrage de l'hyperbole : dans le repère précédent, l' hyperbole peut se décrire par la courbe paramétrée : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&\pm a\textrm{ch}(t)\\ y&=&b\textrm{sh}(t) \end{array}\right.$$