Formulaire - Module et argument d'un nombre complexe

Module d'un complexe

On appelle module du nombre complexe $z=a+ib$ le réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Le module vérifie les propriétés suivantes :

$|z\times z'|=|z|\times |z'|$.
$|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire).
$|z|=0$ si et seulement si $z=0$.
Si $z$ est réel, son module vaut sa valeur absolue.

Argument d'un nombre complexe

Théorème : Si $z$ est un nombre complexe non nul, alors il existe un réel $\theta$ tel que $$z=|z|\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big).$$ De plus, $\theta$ est unique à $2\pi$ près.

Tout nombre $\theta$ qui convient s'appelle un argument de $z$, noté $\textrm{arg}(z)$.

Exemple : Déterminons un argument de $1+i$ : $$1+i=\sqrt 2\left(\frac1{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 2}i\right)=\sqrt 2\left(\cos\left(\frac\pi 4\right)+ i\sin\left(\frac\pi 4\right)\right).$$

L'argument vérifie les propriétés suivantes :

$\textrm{arg}(zz')=\textrm{arg}(z)+\textrm{arg}(z')\ [2\pi]$
$\displaystyle \textrm{arg}\left(\frac 1z\right)=-\textrm{arg}(z)\ [2\pi]$
$\displaystyle \textrm{arg}\left(\frac z{z'}\right)=\textrm{arg}(z)-\textrm{arg}(z')\ [2\pi].$

Exponentielle complexe

Pour $\theta$ un réel, on définit l'exponentielle complexe par : $$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta).$$ Si $z$ est un nombre complexe, et $\theta$ est l'un de ses arguments, alors : $$z=|z|e^{i\theta}.$$ Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de $z$. En application des différentes formules sur le module et l'argument, on a, pour tous réels $\rho,\rho',\alpha,\beta$ avec $\rho'\neq 0$ :

$\rho e^{i\alpha}\rho'e^{i\beta}=\rho\rho'e^{i(\alpha+\beta)}$
$\frac{\rho e^{i\alpha}}{\rho' e^{i\beta}}=\frac{\rho}{\rho'}e^{i(\alpha-\beta)}$
$(\rho e^{i\alpha})^n=\rho^n e^{in\alpha}.$

La forme trigonométrique des complexes est donc parfaitement adaptée quand il s'agit de traiter des exercices où interviennent de façon cruciale des produits.