Formulaire de Mathématiques : Cardinal d'un ensemble fini

Le cardinal d'un ensemble fini $E$ désigne le nombre d'éléments de $E.$

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble fini $E.$ Alors :

1. $\card(A\backslash B)=\card(A)-\card(A\cap B).$
2. $\card(\overline A)=\card(E)-\card(A),$ où $\bar A$ désigne le complémentaire de $A.$
3. $\card(A\cup B)=\card(A)+\card(B)-\card(A\cap B).$

Si $A_1,\dots,A_n$ est une famille de parties de l'ensemble fini $E,$ alors : \begin{align*} \operatorname{card}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) &= \sum_{i=1}^n \operatorname{card}(A_i)- \sum_{1 \leq i_1 < i_2 \leq n} \operatorname{card}(A_{i_1} \cap A_{i_2})\\ &\quad\quad + \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < i_3 \leq n} \operatorname{card}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap A_{i_3}) + \cdots\\ &\quad\quad + (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} \operatorname{card}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k})\\ &\quad\quad + \cdots + (-1)^{n+1} \operatorname{card}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n). \end{align*} En particulier, si $A_1,\dots,A_n$ est une partition de $E,$ on a : $$\operatorname{card}(E)=\sum_{i=1}^n \operatorname{card}(E_i).$$

Soient E et F deux ensembles finis. Alors :

1. $\operatorname{card}(E\times F)=\operatorname{card}(E)\times \operatorname{card}(F).$
2. Pour $k\geq 1,$ $\operatorname{card}(E^k)=\big(\operatorname{card}(E))^k.$

Si $E$ est un ensemble, on note $\mathcal P(E)$ l'ensemble des parties de $E.$ Alors, $$\operatorname{card}(\mathcal P(E))=2^{\operatorname{card}(E)}.$$

Soit $E$ et $F$ deux ensembles. On note $E^F$ l'ensemble des applications de $F$ dans $E.$ Alors : $$\operatorname{card}(E^F)=\left(\operatorname{card}(E)\right)^{\operatorname{card}(F)}.$$

Le nombre d'injections de $F$ à $p$ éléments dans $E$ à $n$ éléments vaut : $$A_{n}^p=\frac{n!}{(n-p)!}.$$

Le nombre de surjections de $F$ à $p$ éléments dans $E$ à $n$ éléments vaut : $$S_{n,p}=\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom nk (n-k)^p.$$