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Carrés de dimension impaire

Carrés de dimension impaire

  Cette page se propose de vous faire découvrir un certain type de carrés magiques de dimension impaire.
Tous les carrés construits de dimension multiple de 3 ne seront pas "diaboliques" (ou pandiagonaux), les autres si. Outre les propriétés magiques classiques, pour les carrés non multiples de 3, il faut faire intervenir la notion de "diagonale brisée".

  Exemples de diagonale brisée :

        

  La somme des nombres figurés par un X, ou O est aussi égale à la constante magique, soit 65 pour un carré d'ordre 5...
Partons du X sis en ligne 1, colonne 4, descendons d'une case vers la droite. Ensuite, comme on ne peut sortir du carré, on descend sur la case en dessous et on ricoche vers la gauche comme au billard !) et on reprend la descente. Le procédé est identique pour le O.

  Le carré gigogne (éventuellement diabolique) lui, est composé de carrés plus petits eux-mêmes magiques (et éventuellement diaboliques). Ainsi le carré de 15 = 3 x 5 sera composé de 25 carrés d'ordre 3, mais le carré de 15 = 5 x 3 sera lui composé de 9 carrés d'ordre 5.
Il suffit de réfléchir quelques secondes pour voir que les deux carrés obtenus seront différents et aussi différent du carré d'ordre 15... La multiplication magique n'est donc PAS COMMUTATIVE et de plus 5 x 3 ne fait pas 15 !!!!

  1. Cas des carrés "simples" (= de dimension prise comme unique):
Chaque nombre de ces carrés est répéré par un couple de coordonnées (ligne,colonne).Voici pour chacun des nombres du carré magique d'ordre 7, le n° de ligne puis le n° de colonne donnant sa position dans le carré naturel.
Nos de ligne :                                            Nos de colonne :

On superpose les 2 tableaux :                            On remplit le carré naturel de 7 :

Le coin supérieur gauche du carré magique d'ordre 7, reçoit donc le nombre de coordonnées (1;5), soit le nombre 5.
Sur la ligne centrale (n° 4), on trouve les coordonnées (7;7), (6;6), (5;5), (4;4); (3;3), (2;2), et (1;1), soit les nombres de la diagonale principale (de gauche à droite) 49, 41, 33, 25, 17, 9 et 1...
La case à l'intersection de 5e ligne et de la 3e colonne est occupée par le couple (7;1) : le nombre correspondant à ces coordonnées dans le carré naturel est donc 43.
        D'où le carré magique d'ordre 7 ci contre :
A noter au passage que 46+15+40+9+34+3+28 = 175, 22+31+40+49+2+11+20 = 175 : voici deux diagonales brisées choisies au hasard, la somme des nombres occupant leurs cases est bien égale à la la constante du carré, soit ici 175.
Rappel : la constante d'un carré magique d'ordre n est donnée par la formule : C = n(n²+1)/2...

  Mais peut-être avez-vous envie de construire vous-même un carré d'ordre 5, un d'ordre 9 et un d'ordre 11 ?

En ce, cas voici comment générer les nos de ligne et de colonnes :
Pour trouver les n°s de ligne :
 Partir de 1.
- Horizontalement, chaque n° de ligne se déduit du précédent en lui soustrayant 1.
   Mais vous devrez ajouter n, dès le 0 atteint, puis reprendre les additions.
- Verticalement, chaque n° se déduit du précédent en lui ajoutant 2.
   Mais vous devrez soustraire n, dès que le n° de ligne dépassera cette valeur, puis reprendre les additions.

Pour trouver les n°s de colonne :
 Partir de (n+3)/2 si la dimension n n'est pas multiple de 3, de (n+1)/2 sinon.Ici n = 7, on part de (7+3)/2 = 5
- Horizontalement, chaque n° de colonne se déduit du précédent en lui otant 1.
   Mais vous devez ajouter n, dès que le n° de colonne dès le 0 atteint, puis reprendre les additions.
- Verticalement, chaque n° se déduit du précédent en lui ajoutant 3.
   Mais vous devrez soustraire n dès que le n° de ligne dépassera cette valeur, puis reprendre les additions.

Bon courage !

  2. Cas des carrés gigognes. Explication de la construction sur un exemple le carré d'ordre 15 = 3 x 5 :
* Construire les carrés d'ordre 3 et d'ordre 5 :     

* Tracer une grille de 15 x 15. La remplir dans l'ordre naturel avec les nombres de 1 à 25. Matérialiser les 25 carrés d'ordre 3


* Dans chaque carré de dimension 3, déplacer les nombres selon la structure du carré magique d'ordre 3 :


* Enfin, numéroter les carrés de 3 de 1 à 25 dans l'ordre naturel et les déplacer selon la structure du carré de 5 :



  Pour conclure, je voudrais ajouter qu'il va de soi (?) que cette méthode de construction des carrés impairs gigognes à deux dimensions (ici 3 et 5) peut être étendue à un nombre de dimensions supérieure, par 3 exemple 3 x 5 x 7..
Pour ce faire :
*   Constituer le carré naturel d'ordre 105 (avec les nombres de 1 à 105² = 11025 !), matérialiser les (5 x 7)² =1225 carrés de dimension 3, puis matérialiser les 49 blocs de 25 carrés d'ordre 3,
*   Rendre magique chacun des 1225 carré d'ordre 3,
*   Dans chacun des 49 blocs de 25 carrés d'ordre 3 numéroter les carrés d'ordre 3 dans l'ordre naturel de 1 à 9,
*   Dans chacun des blocs de 25 carrés d'ordre 3, déplacer ces carrés d'ordre 3 de façon à ce que leurs numéros constituent un carré magique d'ordre 5,
*   Numéroter chacun des 49 blocs de 25 carrés d'ordre 3 dans l'ordre naturel de 1 à 49,
*   Déplacer chacun de ces 49 blocs de 25 carrés d'ordre 3 de façon à ce que leurs numéros constituent un carré magique d'ordre 7.

Votre carré final d'ordre 105, sera magique, composé de 1225 carrés magiques d'ordre 3 et de 49 magiques d'ordre 15.. Hélas, aucun ne sera diabolique à cause de la présence du facteur 3. Cela dit, rien ne vous empêche de construire le carré magique d'ordre 125 = 5 x 5 x 5, qui lui sera magique et diabolique, composé de 625 carrés magiques et diaboliques d'ordre 5 et et de 25 carrés magiques et diaboliques d'ordre 25...

... Programmation ...

Cette méthode de calcul (affichage en mode texte) a été automatisée via un programme écrit avec le langage de programmation Python : je me suis limité à deux dimensions (il n'est pas impossible que j'implémente une 3e, voire une 4e dimension dans l'avenir). Le code est disponible sur cette page.



Voir aussi