Euler et la magie des nombres

Encore une page consacrée à Euler ?? direz-vous.... Certes, vous avez raison, mais elle est destinée à montrer quel fut l'apport du mathématicien bâlois aux méthodes de construction des carrés magiques, en explicitant les quelques lignes de la "Galerie de portraits". *Les carrés "gréco-latins"* Mais commençons par quelques définitions : un carré est dit latin s'il est est un tableau carré à n lignes et n colonnes composé d"éléments (lettres, nombres, figures géométriques) disposés de façon à ce qu'ils n'apparaissent qu'une fois et une seule sur chaque ligne et dans chaque colonne : chaque ligne (ou colonne) s'obtient par permutation des n éléments.
Ci-contre, deux exemples de carrés latins. Les grilles de Sudoku sont d'ailleurs des carrés latins, la table d'addition modulo 10 est un carré latin... En outre, deux carrés latins sont qualifiés d'orthogonaux si leur juxtaposition compose un nouveau carré comportant les n² couples différents possibles. Ce nouveau carré est alors appelé "gréco-latin" C'est bien le cas des deux carrés latins qui vous sont présentés ici.
Ils sont ainsi nommés depuis le mathématicien suisse Leonhardt Euler qui les avait composés avec des lettres grecques et latines. Exemple :
Ainsi, la juxtaposition des deux carrés latins d'ordre 4 présentés au début permet bien d'obtenir un carré gréco-latin. Il faut encore remarquer que cette fois, si chaque symbole, chaque couleur apparaît une fois et une seule dans chacune des lignes, ou colonnes, chaque symbole, chaque couleur n'apparaît aussi qu'une seule fois sur les diagonales : de tels carrés sont encore donc dits *diagonaux*.
Qu'est-ce que c'est ce pathos ? ont dû penser certains à la lecture de ce qui précède. Et bien justement, essayez donc de faire de même avec le mot PATHOS et six couleurs... Si vous êtes fan de programmation, vous pouvez toujours tenter de résoudre ainsi cet exercice. Comment ? Vous n'y arrivez pas ? C'est bien normal car ce n'est là qu'une autre présentation de la problématique que se posa Euler : Placer trente-six officiers de 6 grades différents et appartenant à 6 régiments différents dans un tableau de 6 x 6 de façon que sur chaque ligne et chaque colonne, on trouve 6 officiers de grades différents et de régiments différents. Euler conclut son étude par ces mots : Or, après toutes les peines quon sest données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître quun tel arrangement est absolument impossible, quoiquon ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse. Et de conclure que c'était également impossible pour toute dimension du type 2(2k+1) où k est un nombre entier supérieur 1. Il fallut attendre 1901 pour que le mathématicien français Gaston Tarry, après une étude exhaustive de tous les cas possibles, montre qu'effectivement, le problème des trente-six officiers n'avait pas de solution. Et ce n'est que bien plus tard que les mathématiciens Raj Chandra Bose et Sharadchandra Shankar Shrikhande de l'Université de Caroline du Nord, et E.T. Parker du constructeur d'ordinateurs UNIVAC ont prouvé qu'Euler avait tort en ce qui concernait les ordres supérieurs à 6 : leur découverte fit la une du New York Times, dans son édition du dimanche 26 avril 1959... Or donc, ai-je écrit, la superposition de deux carrés latins d'ordre n (de nombres) orthogonaus et diagonaux conduit à un carré magique d'ordre n ! Voyons cela, avec l'ordre 4. Je reprends les deux carrés initiaux où je remplace les lettres M, A, T, H par 0, 1, 2, 3 et les couleurs Rouge, Vert, Bleu et Saumon respectivement par 0, 3, 1, 2, et je superpose les 2 carrés :
On va considérer maintenant que chacun des nombres obtenus est écrit en base 4 : convertissons-les en base dix (32 en base 4, c'est 3 groupes de 4 et 2 unités simples, donc 4 x 3 + 2 = 14 en base dix), et ajoutons 1 à chacun des nombres pour obtenir la suite de 1 à 16... Le carré alors obtenu est un carré magique "normal" ainsi qu'il vous serait très facile de le contrôler.
Notons encore que ces carrés gréco-latins, hors la construction de carrés magiques, ont bien d'autres applications : supposons que, fleuriste, j'ai reçu 4 variétés de cactus et que je dispose de 4 "godets" de couleur différente sur un présentoir rectangulaire . Si je veux pouvoir faire une étude statistique sur la commercialisation de mes cactus en fonction de leur ordonnencement l'un par rapport à l'autre et de la couleur du godet, la solution est d'utiliser 4 présentoirs disposés en carré et de répartir les cactus dans les godets sur ces 4 présentoirs selon une disposition en carré gréco-latin telle que présentée ci-dessus. D'autres applications peuvent être trouvées en biologie, mécanique, médecine, agronomie, voire en politique, pourquoi pas ?
*Le "cavalier d'Euler"* Cette méthode de construction d'un carré magique repose sur le déplacement d'une case l'autre en un saut de Cavalier du jeu d'échecs, arbitrairement choisi parmi les 8 possibles. Euler l'a notamment évoquée dans sa communication intitulée "De quadratis magis" (St Petersbourg, 1776). Pour ce carré d'ordre 5 par exemple, j'ai ici arbitrairement chosi une case pour commencer ma numération et un déplacement parmi les 8 possibles, la translation de vecteur . Pour les non-initiés : 2 cases vers la droite et une case vers le haut. Or ne voilà-t-il pas déjà que le 2 est en dehors de la grille...
Qu'à cela ne tienne, pour faciliter le placement, autour de la grille on ajoute deux colonnes et deux rangées pour placer les nombres qui vont sortir. On fait alors glisser ces nombres de n cases vers la gauche et/ou vers le bas comme si on enroulait le carré. Pour le 2 donc, on fait glisser les deux colonnes supplémentaires de 5 cases vers la gauche. Et on reprend le cheminement : le 5 sortant de la grille -mais ici en "diagonale"-, je lui applique deux déplacements consécutifs. Le premier consiste là encore à faire glisser les deux colonnes supplémentaires de 5 cases vers la gauche et, le 5 n'étant toujours pas dans le carré, à faire encore glisser les deux lignes supplémentaires de 5 cases vers le bas. Passons maintenant au 6 : or voilà que la case qu'il devrait occuper, l'est déjà par le 1 (cela se reproduira pour 11, 16 et 21) !!! Il faut simplement choisir alors une autre translation depuis le 5, ici la translation de vecteur : on monte de 2 cases.
N'importe quelle case de départ convenait, mais les carrés obtenus ne sont alors pas tous magiques, ils peuvent ne l'être que partiellement. Celui qui est présenté est bien magique de constante 65, comme pouvez le vérifier aisément.

Voir aussi :

Page écrite par Yoshi...