Formulaire et méthodes- Séries numériques
Etudier la série de terme général (STG) , c'est étudier la limite des
sommes partielles
. On dit que la
série converge si
admet une limite.
Soit
. Alors
converge
si, et seulement si,
. Cette série s'appelle série de Riemann.
Si la série de terme général converge, alors
. En
revanche, ce n'est pas parce que
tend vers 0 que la série de
terme général
converge. Le cas de
est frappant!
Quels sont les critères de convergence quand ?? On remarque que la suite des sommes partielles est croissante. Donc, elle converge si, et seulement si, elle est majorée. Ainsi :

- Emploi des équivalents :
Siet
, alors les séries de terme général
et
sont de même nature.
Ce critère s'emploie généralement quand on a des séries assez compliquées, on cherche un équivalent simple à l'aide de développements limités :.
- Autres relations de comparaison :
- Règle de Cauchy :
On suppose que, et que
. Alors :
- Si
, la série de terme général
converge.
- Si
, la série de terme général
diverge.
- Si
, on ne peut pas conclure.
s'écrit avec des racines ou des puissances n-ièmes :
.
- Si
- Règle de D'Alembert :
On suppose que $u_n>0$, et que. Alors :
- Si
, la série de terme général
converge.
- Si
, la série de terme général
diverge.
- Si
, on ne peut pas conclure.
s'écrit avec des factorielles, des puissances... :
.
- Si
- Comparaison avec une intégrale : Si
est continue par morceaux, positive, décroissante sur
, et si on définit
par
, alors la STG
et
sont de même nature. Il est bon de savoir redémontrer ce résultat, qu'on doit pouvoir retrouver à partir d'un petit dessin, et d'un encadrement de l'intégrale. C'est par exemple ainsi que l'on prouve facilement la convergence ou la divergence des séries de Riemann, ou celle des séries de Bertrand :
converge ssi
ou
et
.
En outre, la comparaison à une intégrale fournit un encadrement du reste, ou des sommes partielles, qui peut être utile dans le cas où on s'intéresse à la vitesse de convergence, et à une valeur approchée de la limite :
- Convergence absolue : A tester avant toute chose.
- Règle
:
- S'il existe
tel que
quand
, alors la série de terme général
converge absolument.
- S'il existe
tel que
quand
, alors la série de terme général
diverge.
.
- S'il existe
- Critère des séries alternées :
On considère une série de terme généraltelle que :
est de signe opposé à
.
décroît, et est de limite nulle en
.
converge, et
.
- Décomposition : Par des développements limités, essayer de décomposer une série en séries plus simples, et regarder la convergence de ces séries.
- Transformation d'Abel : C'est l'analogue de l'intégration par parties pour les intégrales impropres, et elle s'emploie pour les séries du type
.
Si
, on écrit
, ce qui donne
. Alors :
-
est borné.
-
est absolument convergente, et
.
-
Bien souvent, on cherche à obtenir une valeur approchée de la limite d'une série convergente. Il faut pouvoir savoir à quelle vitesse on s'approche de la limite. Soit des suites à termes positifs. On note :
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- Cas de la convergence : on compare les restes. On suppose que
converge :
- Cas de la divergence : on compare les sommes partielles. On suppose que
diverge :