Corrigé On commence par faire l'opération $L_1+L_2+L_3\to L_1$. On obtient
\begin{align*}
D&=\left|
\begin{array}{ccc}
1+a+b+c & 1+a+b+c & 1+a+b+c \\
b & 1+b & b \\
c & c & 1+c
\end{array}
\right|\\
&=(1+a+b+c)
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
b & 1+b & b \\
c & c & 1+c
\end{array}
\right|.
\end{align*}
On retire ensuite $b$ fois la première ligne à la seconde, et $c$ fois la première ligne à la troisième. On obtient alors
$$D=(1+a+b+c)
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right|.$$
Il reste une matrice triangulaire supérieure, avec des 1 sur la diagonale. Celle-ci est de déterminant 1 et donc
$D=1+a+b+c$.