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Diagonalisabilité et projections - Bibm@th.net

Exercice 1 - Diagonalisabilité et projections [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$.
  1. On suppose que $u$ est diagonalisable, et on note $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ ses valeurs propres. Justifier qu'il existe des projections $p_1,\dots,p_r$ de $E$ tels que, pour tout $k\geq 1$, $$u^k=\sum_{i=1}^r \lambda_i^k p_i.$$
  2. Réciproquement, on suppose qu'il existe $p_1,\dots,p_r\in\mathcal L(E)$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ des complexes distincts tels que, pour tout $k\geq 1$, $$u^k=\sum_{i=1}^r \lambda_i^k p_i.$$ Démontrer que $u$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé