Enoncé 
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations et inéquations suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ |x+12|=|x^2-8|&\quad&\mathbf{2.}\ |x+12|\leq |x^2-8|.
\end{array}$$
Indication 
Factoriser $x^2-8$, puis résoudre l'équation ou l'inéquation en enlevant les valeurs absolues. Il y aura plusieurs cas à distinguer!
Corrigé
- On factorise $x^2-8$ en $(x-2\sqrt 2)(x+2\sqrt 2)$. Ceci permet de distinguer plusieurs cas pour résoudre l'égalité, en enlevant les valeurs absolues.
- Si $x\leq -12$, on a $|x+12|=-x-12$ et $|x^2-8|=x^2-8$. L'équation est équivalente à
$x^2-8=-x-12$. Cette équation n'a pas de solutions réelles.
- Si $x\in [-12,-2\sqrt 2]$ ou $x\in [2\sqrt 2,+\infty[$, alors $|x+12|=x+12$ et $|x^2-8|=x^2-8$. L'équation est équivalente à $x^2-8=x+12$. Les solutions sont -4 et 5. Elles sont toutes deux dans l'intervalle considéré.
- Si $x\in[-2\sqrt 2,2\sqrt 2]$, alors $|x^2-8|=-x^2+8$ et $|x+12|=x+12$. L'équation est équivalente à $-x^2+8=x+12$, dont on a déjà observé qu'elle n'avait pas de solutions.
Finalement, l'ensemble des solutions est $\{-4,5\}$. Remarquons que dans cette première question, on aurait pu éviter un raisonnement par disjonction de cas en remarquant que $|a|=|b|$ si et seulement si $a=b$ ou $a=-b$.
- On applique exactement le même raisonnement en scindant en trois intervalles d'étude.
- Si $x\leq -12$, l'inéquation est équivalente à $-x-12\leq x^2-8$ qui est toujours vérifiée (rappelons que l'équation du second degré associé n'a pas de solutions).
- Si $x\in [-12,-2\sqrt 2]$ ou $x\in [2\sqrt 2,+\infty[$, alors l'inéquation est équivalente à $x+12\leq x^2-8$. L'ensemble des solutions de cette équation est $]-\infty,-4]\cup [5,+\infty[$. Dans l'intervalle considéré, on trouve $[-12,-4]\cup [5,+\infty[$.
- Si $x\in[-2\sqrt 2,2\sqrt 2]$, alors l'inéquation est équivalente à $x+12\leq -x^2+8$ qui cette fois n'est jamais vérifiée (l'équation du second degré associé n'a toujours pas de solutions, mais on a inversé le sens de l'inégalité).
Finalement, l'ensemble des solutions est $]-\infty,-4]\cup [5,+\infty[$.
