On écrit
$$1+i\sqrt 3=2\left(\frac12+i\frac{\sqrt 3}2\right)=2e^{i\pi/3}.$$
Il vient
$$z^3=1+i\sqrt 3=2e^{i\pi/3}\iff z=2^{1/3} e^{i\left(\frac\pi 9+\frac{2k\pi}3\right)},\ k\in\mathbb Z.$$
On obtient 3 nombres complexes différentes pour $k=0$, $k=1$ et $k=2$ qui sont $2^{1/3}e^{i\pi/9}$, $2^{1/3}e^{i7\pi/9}$ et $2^{1/3}e^{i13\pi/9}$.
On a
$$1+i\sqrt 3=2\left(\frac12+i\frac{\sqrt 3}2\right)=2e^{i\pi/3}.$$
On en déduit que
$$\frac{-4}{1+i\sqrt 3}=-2e^{-i\pi/3}=2e^{2i\pi/3}.$$
Finalement,
$$z^6=\frac{-4}{1+i\sqrt 3}\iff z=2^{1/6} e^{\frac{i k\pi}{3}+\frac{i\pi}9},\ k\in\mathbb Z$$
(on peut se restreindre à $k\in\{0,\dots,5\}$).
On a
$$\frac{(1+i\sqrt 3)^4}{(1+i)^2}=\frac{2^4\left(\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2\right)^4}{2\left(\frac1{\sqrt 2}+i\frac{1}{\sqrt 2}\right)^2}=2^3\frac{e^{i\frac{\pi}3\times 4}}{e^{i\frac{\pi}4\times 2}}.$$
L'équation qu'on doit résoudre est donc :
$$z^5=2^3e^{i\frac{5\pi}6}\iff \left(\frac{z}{2^{3/5}e^{i\pi/6}}\right)^5=1.$$
On en déduit que les solutions sont les complexes de la forme
$$z=2^{3/5}e^{i\left(\frac{\pi}6+\frac{2k\pi}{5}\right)},\ k\in\mathbb Z$$
(on peut se restreindre à $k\in\{0,\dots,4\}$).