Enoncé 
- Démontrer que, pour tous $(x,y)$ réels, $|xy|\leq x^2-xy+y^2$.
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Soit $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=(x^py^q)/(x^2-xy+y^2)$ si $(x,y)\neq (0,0)$, où $p$ et $q$ sont
des entiers naturels non nuls.
Pour quelles valeurs de $p$ et $q$ cette fonction est-elle continue?
- Montrer que si $p+q=2$, alors $f$ n'est pas différentiable.
- On suppose que $p+q=3$, et que $f$ est différentiable en $(0,0)$. Justifier qu'alors il existe deux constantes
$a$ et $b$ telles que $f(x,y)=ax+by+o(\|(x,y)\|)$. En étudiant les applications partielles $x\mapsto f(x,0)$ et $y\mapsto f(0,y)$,
justifier que $a=b=0$. Conclure, à l'aide de $x\mapsto f(x,x)$, que $f$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.
Indication 
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- Distinguer le cas $p=1$ et $q=1$.
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- Pour prouver que $a=0$, calculer $f(x,0)$ et utiliser l'unicité du développement limité.
Corrigé
- On a $(|x|-|y|)^2=x^2-2|xy|+y^2\geq 0$, ce qui donne l'inégalité demandée.
- Remarquons d'abord que l'on a $p+q\geq 2.$ Seule la continuité en $(0,0)$ pose problème. On majore $|f(x,y)|$ de la façon suivante :
$$|f(x,y)|\leq |xy| |x^{p-1}y^{q-1}|/(x^2-xy+y^2)\leq |x|^{p-1}|y|^{q-1}.$$
Cette dernière quantité tend vers 0, sauf si $p-1=q-1=0$, c'est-à-dire sauf si $p+q=2$. Donc si $p+q>2,$ la fonction est continue en $(0,0)$, donc sur $\mathbb R^2.$ Lorsque $p+q=2,$ c'est-à-dire $p=q=1,$ on a $f(x,x)=1$, qui ne tend
pas vers 0 si $x$ tend vers 0. $f$ n'est alors pas continue en $(0,0)$.
- Si $p+q=2$, la fonction n'est pas continue : a fortiori, elle ne peut pas être différentiable.
- Si $p+q=3$, et que $f$ est différentiable en $(0,0)$, alors $f(x,y)=f(0,0)+df_{(0,0)}(x,y)+o(\|(x,y)\|)$. Mais la différentielle
est ici une application linéaire de $\mtr^2$ dans $\mtr$. On note $(a\ b)$ sa matrice. On obtient alors le résultat demandé.
Ensuite, puisque $f(x,0)=0=ax+o(|x|)$, on obtient, par unicité du développement limité, que $a=0$. De même en étudiant l'application $y\mapsto f(0,y)$, on trouve $b=0$.
Ainsi, $f(x,x)=o(|x|)$. Mais $f(x,x)=x$ (cf le calcul fait avant), qui n'est pas un $o(|x|)$.
