Exercices sur les intervalles, inégalités, inéquations - Pour comprendre

1. $]-\infty;3[\cup [5;+\infty[$.
2. $[8;+\infty[\cup ]-\infty;-3[$.
3. $]-1;4[\cap [3;+\infty[$. En s'aidant de la droite numérique, on reconnait l'intervalle $[3;4[$.
4. $]-\infty;6[\cap ]-\infty;9[$. Le premier intervalle est contenu dans le second. On reconnait $]-\infty;6[$.

Dans les deux premiers cas, les intervalles n'ont pas de point en commun, et on ne peut pas écrire leur réunion comme un seul intervalle.

1. Puisqu'on transforme une inégalité en une inégalité équivalente lorsqu'on lui ajoute un même nombre à chaque membre, on déduit de l'inégalité $x\geq 2$ que $$x+y\geq -2+y.$$ Mais on sait aussi que $y\geq 6$ d'où l'on déduit $$-2+y\geq -2+6$$ soit $$-2+y\geq 4.$$ Finalement, on a obtenu $$x+y\geq 4.$$ Cet exercice est plus simple si on connait la propriété suivante : si $a\leq b$ et $c\leq d$, alors $a+c\leq b+d$. Avec cette propriété, on déduit immédiatement des deux inégalités $x\geq -2$ et $y\geq 6$ que $x+y\geq -2+6$ soit $x+y\geq 4$.
2. On commence par multiplier les deux inégalités respectivement par $-1$ et par $-2$, sans oublier de changer le sens des inégalités. On obtient donc $$-x\leq 2\textrm{ et }-2y\leq -12.$$ On procède ensuite comme à la question précédente. De $-x\leq 2$ on tire $$-x-2y\leq 2-2y.$$ De $-2y\leq -12$, on tire $$2-2y\leq -10.$$ Finalement, on a prouvé que $$-x-2y\leq -10.$$

Si on connait la propriété mentionnée à la fin du corrigé de la question précédente, on aurait aussi pu déduire directement de $-x\leq 2$ et $-2y\leq -12$ que $-x-2y\leq 2-12$ soit $-x-2y\leq -10$.

Formons la différence de ces deux quantités, et réduisons au même dénominateur : \begin{eqnarray*} \frac{2x-3}{x-1}-2&=&\frac{2x-3}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}\\ &=&\frac{2x-3-2(x-1)}{x-1}\\ &=&\frac{2x-3-2x+2}{x-1}\\ &=&\frac{-1}{x-1}. \end{eqnarray*} Or le numérateur $-1$ est (strictement) négatif. Puisque $x$ est dans l'intervalle $]1;+\infty[$, on a $x>1$ et donc $x-1>0$ : le dénominateur est strictement positif. Ainsi, on a $$\frac{2x-3}{x-1}-2<0$$ soit encore, en ajoutant $2$ aux deux membres de cette inégalité, $$\frac{2x-3}{x-1}<2.$$

Notons $n$ le nombre de spectacles vus dans l'année. Dans la première formule, le prix payé est $40n$ euros. Dans la seconde formule, il y a un prix de base de $75$ euros, et le prix payé pour chaque spectacle est $24$ euros ($40$ euros - 40\%). On paie donc $75+24n$. La formule avec carte d'abonnement est plus avantageuse si $$75+24n\leq 40n.$$ Cette inégalité est équivalente à $$16n\geq 75\iff n\geq \frac{75}{16}\simeq 4,\!69.$$ Il faut donc au moins voir $5$ spectacles.