$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices sur les intervalles, inégalités, inéquations - Pour approfondir

Inégalités, inéquations
Exercice 1 - Mieux que la calculatrice! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. La calculatrice permet-elle (directement) de comparer les nombres $\displaystyle x=\frac{123456789}{123456790}$ et $\displaystyle y=\frac{123456790}{123456791}$?
  2. Soit $p$ et $q$ deux nombres entiers strictement positifs, avec $p<q$. Démontrer que $\frac{p-1}p < \frac{q-1}q$.
  3. Que peut-on dire sur $x$ et $y$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans la figure suivante, le triangle $ABM$ est rectangle en $B$, le triangle $BDE$ est rectangle en $D$, $AB=3$, $DE=2$, $BD=4$ et $M$ est un point du segment $[BD]$. Quel est l'ensemble des points $M$ pour lesquels l'aire du triangle $ABM$ est inférieure à celle du triangle $MED$?
Indication
Corrigé
Valeur absolue, valeurs approchées
Exercice 3 - Loi d'additivité des tensions et incertitude [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un circuit électrique en série comporte un générateur, une lampe et un moteur. On note $U_g$ la tension aux bornes du générateur, $U_l$ la tension aux bornes de la lampe et $U_m$ la tension aux bornes du moteur. La loi d'additivité des tensions nous dit que $U_g=U_l+U_m$. On a mesuré $U_g$ et $U_l$ à l'aide d'un voltmètre. En tenant compte de l'incertitude liée à la mesure on a trouvé que $U_g$ est compris entre $4,\! 1\textrm{V}$ et $4,\!3 \textrm{V}$, et que $U_l$ est compris entre $300\textrm{mV}$ et $350\textrm{mV}$. Quelles peuvent être les valeurs prises par $U_m$?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Logique et valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Indiquer pour chacune des propositions suivantes si elle est vraie ou fausse.
  1. Pour tous nombres réels $x$ et $y$, alors $|x+y|=|x|+|y|$.
  2. Il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que $|x+y|=|x|+|y|$.
  3. Pour tous nombres réels $x$ et $y$ tels que $|x|=|y|$, alors $x=y$.
  4. Pour tous nombres réels $x$ et $y$ tels que $|x|\leq |y|$, alors $x\leq y$.
  5. Pour tout nombre réel $x$, alors $|2x|=2|x|$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Équation avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à résoudre l'équation $$|2x-4|=|x+3|.$$
  1. On suppose $x\geq 2$. Simplifier $|2x-4|$ et $|x+3|$. En déduire les solutions de l'équation dans l'intervalle $[2,+\infty[$.
  2. On suppose que $x\in [-3,2[$. Simplifier $|2x-4|$ et $|x+3|$. En déduire les solutions de l'équation dans cet intervalle.
  3. On suppose que $x<-3$. Simplifier $|2x-4|$ et $|x+3|$. En déduire les solutions de l'équation dans cet intervalle.
  4. Conclure.
Corrigé
Pour compléter...