Exercices sur les ensembles de nombres - Pour approfondir

Nombres entiers

Exercice 1

Quels sont les nombres entiers composés de 3 chiffres dont le produit vaut 120 et la somme 16.

Exercice 2

- Produit de nombres qui ne sont pas divisibles par 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Le but de l'exercice est de démontrer que le produit de deux nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 3 n'est pas divisible par 3.

Soit $n$ un entier. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par $3$?
En déduire que si $n$ n'est pas divisible par 3, alors $n$ s'écrit $3k+1$ ou $3k+2$, avec $k$ un entier. La réciproque est-elle vraie?
Soit $n$ un entier s'écrivant $3k+1$ et $m$ un entier s'écrivant $3l+1$. Vérifier que $$n\times m=3(3kl+k+l)+1.$$ En déduire que $n\times m$ n'est pas divisible par $3$.
Démontrer la propriété annoncée par l'exercice.

Exercice 3

Montrer que la somme de 5 entiers consécutifs est un multiple de 5.
Est-ce que la somme de 4 entiers consécutifs est un multiple de 4?
Montrer que si $n=2k+1$, avec $k$ entier, et si $a$ est un entier, alors les nombres $a-k,\dots,a-1,a,a+1,\dots,a+k$ sont $n$ entiers consécutifs.
Montrer que la somme de $n$ entiers consécutifs, avec $n$ impair, est un multiple de $n$.
Montrer que la somme de $n$ entiers consécutifs, avec $n$ pair, est un multiple de $n/2$.

Exercice 4

Combien y-a-t-il de nombres premiers dont la somme des chiffres est divisible par 18?

Nombres décimaux - nombres rationnels

Exercice 5