$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices sur les calculs algébriques - Pour comprendre

Racines carrées
Exercice 1 - Racines carrées et triangles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. On considère trois points $A$, $B$ et $C$ du plan tels que $AB=2\sqrt{45}$, $BC=6\sqrt 5$, $AC=3\sqrt{20}$. Quelle est la nature du triangle $ABC$?
  2. On considère trois points $E$, $F$ et $G$ du plan tels que $EF=2\sqrt 7+3$, $FG=3\sqrt 7-2$, $EG=2\sqrt{26}$. Quelle est la nature du triangle $EFG$?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Passage à l'inverse et racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ un nombre rationnel et $b$ un entier, le plus petit possible. $$\mathbf{1.}\ \frac{1}{\sqrt 3}\quad\mathbf 2.\ \frac{4\sqrt 2}{\sqrt 7}\quad\ \mathbf 3.\ \frac{5\sqrt 6}{\sqrt{33}}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Somme de racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Écrire sous la forme $a\sqrt b$, avec $a$ et $b$ entier et $b$ le plus petit possible, les nombres suivants : $$\mathbf{1.}\quad 2\sqrt 7-4\sqrt 7+8\sqrt 7\quad\quad\mathbf{2.}\quad 9\sqrt{45}-10\sqrt{80}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que $\displaystyle (1+2\sqrt 3)=\sqrt{13+4\sqrt 3}$.
Indication
Corrigé
Puissances
Enoncé
Simplifier les écritures suivantes, lorsque c'est possible : \begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\ \frac{(x^3)^4}{x^{12}}&\displaystyle\quad\mathbf{2.}\ a^2 b a^3b^2& \displaystyle\quad\mathbf{3.}\ \frac{a^2b^3}{a^3b}\\ \displaystyle\mathbf{4.}\ (a^{-2}b^3)^2&\displaystyle\quad\mathbf{5.}\ \frac{a^2+ab}{a^3}& \displaystyle\quad\mathbf{6.}\ \frac{a^2+b^2}{ab}\\ \end{array}
Corrigé
Identités remarquables - Factorisation
Enoncé
  1. Avec l'aide de votre calculatrice, calculer $14^2-13^2-12^2+11^2$, puis $57^2-56^2-55^2+54^2$. Quelle conjecture pouvez-vous faire?
  2. Prouver cette conjecture.
Indication
Corrigé
Enoncé
Factoriser les expressions suivantes : \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ 9(x+4)-(x+4)^2&\quad\mathbf{2.}\ (x-8)^2-144&\quad\mathbf{3.}\ (14x-37)^2-3(14x-37)\\ \mathbf{4.}\ (9x-4)^2-121&\quad\mathbf{5.}\ (5x-6)^2-5x+6 \end{array}
Indication
Corrigé
Équations
Enoncé
Résoudre les équations suivantes :
  1. $(2x-1)(4x+4)+(-4x+2)(x+3)=0$.
  2. $5x(3x+2)=(3x+2)^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Résoudre $x^3-x=0$.
  2. Pour quelles valeurs de $x$ le quotient $\frac{x^3-x}{x-1}$ est-il défini?
  3. Résoudre $\frac{x^3-x}{x-1}=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : \begin{array}{ll} \displaystyle \mathbf{1.}\ \frac{x^2-100}{x+4}=0&\displaystyle \quad\mathbf{2.}\ \frac{2x+1}{x+1}=6. \end{array}
Corrigé
Enoncé
Sur la figure ci-dessus, $x$ désigne un nombre strictement positif et les dimensions du rectangle sont $2x$ et $8$. Le disque et le rectangle ont le même centre et le cercle est tangent à deux côtés opposés du rectangle. Déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle le disque et la partie bleue ont la même aire.
Corrigé
Enoncé
On soustrait un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{23}{38}$. On obtient alors l'inverse de la fraction $\dfrac{23}{38}$. Quel est ce nombre?
Indication
Corrigé
Calcul littéral
Enoncé
Démontrer que, si $x\neq 2$, alors $$\frac{x^2-x-3}{x-2}=x+1-\frac{1}{x-2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans les expressions suivantes, le réel $x$ est choisi de sorte que les dénominateurs ne s'annulent pas. Écrire les expressions comme une seule fraction. \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \frac{x}4+\frac4x&\quad\mathbf{2.}\ 2+\frac{3}{x+1}&\quad\mathbf{3.}\ \frac{x+7}{x+1}-\frac{x+3}{x+4}. \end{array}
Indication
Corrigé
Pour compléter...
Calculs algébriques : racines, puissances, identités remarquables, équations