Exercices sur les calculs algébriques - Pour apprendre

Sans calculatrice, donner la valeur exacte des nombres suivants : \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \sqrt{3,\!7^2}&\quad\mathbf{2.}\ \sqrt{37}^2&\quad\mathbf{3.}\ (3\sqrt{11})^2\\ \mathbf{4.}\ \sqrt{36}+\sqrt{64}&\quad\mathbf{5.}\ \sqrt{36+64}&\quad\mathbf{6.}\ \sqrt 2\times \sqrt 8\\ \mathbf{7.}\ 4\sqrt{25}-\sqrt{25}&\quad\mathbf{8.}\ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt 2}&\quad\mathbf{9.}\ \sqrt{12}\times\sqrt{3}\\ \end{array}

Écrire les racines carrées suivantes sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ est le plus petit possible. \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \sqrt{75}&\quad\mathbf{2.}\ \sqrt{ 48}&\quad\mathbf{3.}\ \sqrt{80}\\ \mathbf{4.}\ \sqrt{2}\times\sqrt{10}&\quad \mathbf{5.}\ \sqrt{600}&\ \mathbf{6.}\ \frac{\sqrt{40}}{\sqrt 5}. \end{array}

Pour $a$ un réel non nul, écrire comme une puissance de $a$ les réels suivants : \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ a^2\times a&\quad\mathbf{2.}\ a^2\times a^2&\quad\mathbf{3.}\ a^2\times a^7\\ \mathbf{4.}\ a^2\times a^{-3}&\quad\mathbf{5.}\ \displaystyle\frac{a^5}{a^2}&\quad\mathbf{6.}\ \displaystyle\frac{a^2}{a^5}\\ \mathbf{7.}\ (a^2)^3&\quad\mathbf{8.}\ (a^2)^{-3}&\quad\mathbf{9.}\ (a^{-3})^2\\ \end{array}

Écrire sous forme irréductible les fractions suivantes : \begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf{1.}\ \frac{2^6 5^3}{2^5 5^4}&\displaystyle\quad\mathbf{2.}\ \frac{10^7}{2^3 5^8} &\displaystyle\quad\mathbf{3.}\ \frac{(3\times 5)^2 2^3}{5^4}\\ \displaystyle\mathbf{4.}\ \frac{(2^3)^2}{4^2}. \end{array}

Classer les planètes du système solaire de la plus légère à la plus lourde. $$ \begin{array}{c|c} \textrm{Nom de la planère}&\textrm{Masse en kg}\\ \hline \textrm{Mercure}&3,285\times 10^{23} \\ \hline \textrm{Vénus}& 4,867 \times 10^{24}\\ \hline \textrm{Terre}& 5,972 \times 10^{24}\\ \hline \textrm{Mars}& 6,39 \times 10^{23} \\ \hline \textrm{Jupiter}& 1,898 \times 10^{27} \\ \hline \textrm{Saturne}& 5,683 \times 10^{26} \\ \hline \textrm{Uranus}& 8,681 \times 10^{25} \\ \hline \textrm{Neptune}& 1,024 \times 10^{26}\\ \hline \end{array} $$

Simplifier les expressions suivantes : $$\mathbf{1.}\ \sqrt{10^{16}}\quad\mathbf{2.}\ \sqrt{5^{-6}}\quad\mathbf{3.}\ \sqrt{7}^4.$$

Calculer sans calculatrice les nombres suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ 81^2&\quad\mathbf{2.}\ 48^2&\ \mathbf{3.}\ 57^2-55^2 &\quad\mathbf{4.}\ 100\ 001^2-99\ 999^2. \end{array}$$

Compléter les égalités suivantes : \begin{array}{ll} \mathbf{1.}\ (x+\dots)^2=x^2+\dots+16&\quad\mathbf{2.}\ (x-\dots)^2=x^2-\dots+9\\ \mathbf{3.}\ (\dots+1)^2=4x^2+\dots+\dots&\quad\mathbf{4.}\ (x\dots)^2=x^2-12x+\dots\\ \mathbf{5.}\ 4x^2-\dots=(2x+3y)(2x-\dots) &\quad\mathbf{6.}\ (4x\dots)^2=16x^2+\dots+25\\ \end{array}

Développer et réduire les expressions suivantes : \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (\sqrt 2+1)^2&\quad\mathbf{2.}\ (\sqrt 2-1)^2&\quad\mathbf{3.}\ (\sqrt 2-1)(\sqrt 2+1)\\ \mathbf{4.}\ (\sqrt 2+\sqrt 5)^2&\quad\mathbf{5.}\ (3\sqrt 2-1)^2&\quad\mathbf{6.}\ (3\sqrt 7+2)(3\sqrt 7-2). \end{array}

Factoriser les expressions suivantes : \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ 2x^2+3x&\quad\mathbf{2.}\ 4x^2-5x&\quad\mathbf{3.}\ xy+x\\ \mathbf{4.}\ 3x(x-5)-x&\quad\mathbf{5.}\ xy+4xz&\quad\mathbf{6.}\ (x+1)^2+3(x+1)\\ \mathbf{7.}\ (4x+7)(x-1)-2(x-1)(x+3)&\quad\mathbf{8.}\ x^2-16&\quad\mathbf{9.}\ x^2-4x+4\\ \mathbf{10.}\ 25x^2-49&\quad\mathbf{11.}\ 9x^2+12x+4 \end{array}

Résoudre les équations suivantes : \begin{array}{ll} \mathbf 1.\ 4x+2=2x+6&\mathbf 2.\ 3x-5=x+4\\ \mathbf 3.\ -2x+1=x-5&\mathbf 4.\ 6x-3=3x-10. \end{array}

Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf{1.}\ (2x+4)(9-3x)=0&\quad \mathbf{2.}\ (3x-2)(2x+5)=0. \end{array}$$

Résoudre les équations suivantes :

1. $(5x-7)(3x-2)-(x-8)(3x-2)=0$
2. $(x-7)(3x-5)-(9x-4)(x-7)=0$

Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{ll} \displaystyle \mathbf{1.}\ \frac{2x-5}{x+7}=0&\displaystyle\quad\mathbf{2.}\ \frac{x+1}{3x+2}=0. \end{array}$$

Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf{1.}\ x^2-7x=0&\quad \mathbf{2.}\ x^2=16x. \end{array} $$

Simplifier les écritures fractionnaires suivantes : \begin{array}{llll} \mathbf{1.}\ \frac{2x+8}2&\quad\mathbf{2.}\ \frac{3x+9}3&\quad\mathbf{3.}\ \frac{2x}6&\quad\mathbf{4.}\ \frac{8x+12}{6} \end{array}

Écrire les expressions suivantes en ne faisant apparaître qu'une seule fraction : \begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ 3+\frac {x+1}4&\quad \mathbf{2.}\ x+\frac{x+1}6&\quad\mathbf{3.}\ \frac{x+1}{2}+\frac{x+1}3 \end{array}

L'indice de masse corporelle, noté $I$ d'une personne est obtenu à partir de sa taille $T$ (en mètres) et de sa masse $m$ (en kilogrammes) par la formule suivante : $\displaystyle I=\frac{m}{T^2}$. Un IMC est jugé normal lorsqu'il est compris entre 18,5 et 25.

1. Exprimer $m$ en fonction de $T$ et de $I$.
2. Exprimer $T$ en fonction de $m$ et de $I$.
3. Application : le mannequin Agnes Hedengard, malgré un IMC de 17,5, est jugé trop grosse par certains professionnels du monde de la mode!!! Elle mesure 1m80. Quelle est sa masse?
4. Application : le rugbyman Charles Ollivon a un IMC de 27,2, et sa masse est 108kg. Quelle est sa taille?

La loi d'Ohm indique la tension $U$ (en volts) mesurée aux bornes d'une résistance est proportionnelle à l'intensité $I$ (en ampères) du courant qui la traverse : $U=RI$, où $R$ est la résistance (en ohms).

1. Exprimer $R$ en fonction de $U$ et $I$.
2. Une résistance est traversée par un courant de $4$ milliampères, et la tension mesurée aux bornes est $2$ volts. Quelle est la valeur de cette résistance?