$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Cours seconde : ensemble de nombres

Nombres entiers
Définition :
  • Les entiers positifs ou nuls ($0,1,2,\dots$) sont appelés entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb N$.
  • Un nombre est appelé entier relatif si c'est un entier naturel ou si son opposé est un entier naturel. Ce sont donc les nombres $\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$. L'ensemble des entiers relatifs est noté $\mathbb Z$.
  • Un entier naturel est donc un entier relatif. On dit que $\mathbb N$ est inclus dans $\mathbb Z$, ce que l'on note $\mathbb N\subset\mathbb Z$.

    Exemple : 4 est un entier naturel, on note $4\in \mathbb N$, ce que l'on lit 4 appartient à $\mathbb N$. $-6$ n'est pas un entier naturel, mais c'est un entier relatif. On écrit $-6\notin \mathbb N$ ($-6$ n'appartient pas à $\mathbb N$), mais $6\in\mathbb Z$.
    Définition : Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que $a$ est un multiple de $b$, ou que $b$ est un diviseur de $a$ s'il existe $q\in\mathbb Z$ tel que $a=bq$.
    Par exemple, 36 est un multiple de 12, puisque $36=3*12$.
    Proposition : Si $m$ et $n$ sont deux multiples de $a$, alors $m+n$ est un multiple de $a$.

    Définition :
    • Un nombre entier est pair s'il est divisible par 2. Il s'écrit donc $n=2k$, avec $k$ un entier.
    • Un nombre entier est impair s'il n'est pas divisible par 2. Il s'écrit alors $n=2k+1$, avec $k$ un entier.
    Proposition : Soit $n$ un entier. Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
    Définition : Un nombre entier relatif $n$ est premier s'il est différent de $1$ et admet exactement deux diviseurs positifs, $1$ et lui-même.
    Par exemple, $7$ est un nombre premier mais $15$ ne l'est pas, car ses diviseurs positifs sont $1,3$ et $5$.
    Théorème : Tout nombre nombre entier naturel $n$ s'écrit de façon unique, à l'ordre des termes près, comme produit d'entiers premiers. Cette écriture s'appelle la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$.
    Par exemple, $84=2\times 2\times 3\times 7$ est la décomposition en facteurs premiers de 84.
    Nombres rationnels, nombres décimaux
    Définition :
    • Un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit $\frac{a}{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul. On note $\mathbb Q$ l'ensemble des nombres rationnels.
    • Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit $\frac{a}{10^n}$ où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel. On note $\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux.
    Bien sûr, tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels, mais la réciproque n'est pas vraie.
    Théorème : 1/3 n'est pas un nombre décimal.
    Théorème : Toute nombre rationnel admet une écriture irréductible $\frac pq$, où $p$ est un entier relatif, $q$ est un entier naturel non nul, et le seul diviseur positif commun de $p$ et $q$ est égal à $1$.
    Par exemple, le nombre rationnel $\frac{72}{252}$ admet pour écriture irréductible $\frac 27$ car $$\frac{72}{432}=\frac{2\times 36}{7\times 36}.$$
    Nombres réels
    Définition : On considère une droite munie d'un repère $(O,I)$. L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points de cette droite, appelée droite numérique. L'ensemble des nombres réels est noté $\mathbb R$.

    On a donc les inclusions $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset \mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$ :

    En revanche, il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels.
    Théorème : $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
    Pour compléter...