Cours seconde : ensemble de nombres
Nombres entiers
Définition :
Les entiers positifs ou nuls ($0,1,2,\dots$) sont appelés entiers naturels.
L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb N$.
Un nombre est appelé entier relatif si c'est un entier naturel ou si son opposé est un entier naturel.
Ce sont donc les nombres $\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$. L'ensemble des entiers relatifs est noté $\mathbb Z$.
Un entier naturel est donc un entier relatif. On dit que $\mathbb N$ est inclus dans $\mathbb Z$, ce que l'on note $\mathbb N\subset\mathbb Z$.
Exemple : 4 est un entier naturel, on note $4\in \mathbb N$, ce que l'on lit 4 appartient à $\mathbb N$. $-6$ n'est pas un entier naturel, mais c'est un entier relatif. On écrit $-6\notin \mathbb N$ ($-6$ n'appartient pas à $\mathbb N$), mais $6\in\mathbb Z$.
Définition :
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que $a$ est un multiple de $b$, ou que $b$
est un diviseur de $a$ s'il existe $q\in\mathbb Z$ tel que $a=bq$.
Par exemple, 36 est un multiple de 12, puisque $36=3*12$.
Proposition : Si $m$ et $n$ sont deux multiples de $a$, alors $m+n$ est un multiple de $a$.
Définition :
- Un nombre entier est pair s'il est divisible par 2. Il s'écrit donc $n=2k$, avec $k$ un entier.
- Un nombre entier est impair s'il n'est pas divisible par 2. Il s'écrit alors $n=2k+1$, avec $k$ un entier.
Proposition :
Soit $n$ un entier. Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
Définition :
Un nombre entier relatif $n$ est premier s'il est différent de $1$ et admet exactement deux diviseurs positifs, $1$ et lui-même.
Par exemple, $7$ est un nombre premier mais $15$ ne l'est pas, car ses diviseurs positifs sont $1,3$ et $5$.
Théorème :
Tout nombre nombre entier naturel $n$ s'écrit de façon unique, à l'ordre des termes près, comme produit d'entiers premiers.
Cette écriture s'appelle la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$.
Par exemple, $84=2\times 2\times 3\times 7$ est la décomposition en facteurs premiers de 84.
Nombres rationnels, nombres décimaux
Définition :
Bien sûr, tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels, mais la réciproque n'est pas vraie.
- Un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit $\frac{a}{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul. On note $\mathbb Q$ l'ensemble des nombres rationnels.
- Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit $\frac{a}{10^n}$ où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel. On note $\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux.
Théorème : 1/3 n'est pas un nombre décimal.
Théorème :
Toute nombre rationnel admet une écriture irréductible $\frac pq$, où $p$ est un entier relatif, $q$ est un entier naturel non nul,
et le seul diviseur positif commun de $p$ et $q$ est égal à $1$.
Par exemple, le nombre rationnel $\frac{72}{252}$ admet pour écriture irréductible $\frac 27$ car
$$\frac{72}{432}=\frac{2\times 36}{7\times 36}.$$
Nombres réels
Définition : On considère une droite munie d'un repère $(O,I)$. L'ensemble
des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points de cette droite, appelée droite numérique. L'ensemble des nombres réels est noté $\mathbb R$.
On a donc les inclusions $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset \mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$ :
Théorème : $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
Pour compléter...