Cours seconde : Racines, puissances, identités remarquables, équations
Racines carrées
Définition :
Soit $a$ un nombre réel positif.
La racine carrée de $a$ est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à $a$. On le note
$\sqrt a$.
Exemple : $\sqrt 0=0$, $\sqrt 1=1$, $\sqrt 9=3$.
Propriétés de la racine carrée :
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.
- $\sqrt{ab}=\sqrt a \times \sqrt b$
- Si $b\neq 0$, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$
- Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $\sqrt{a+b}<\sqrt a +\sqrt b$.
La racine carrée en géométrie :
- la diagonale d'un carré de côté $a$ a pour longueur $a\sqrt 2$.
- la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ a pour longeur $\frac{a\sqrt 3}2$.
Puissances
Définition :
Soit $a$ un nombre réel positif et $n$ un entier strictement positif. On note
$$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\textrm{ facteurs}}.$$
Si $a\neq 0$, on note
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a\times a\times\cdots\times a}.$$
Enfin, on convient que pour $a$ non nul, $a^0=1$
Exemple : $10^3=1000$, $2^{-2}=\frac 14$.
Propriétés des puissances:
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, $m$ et $n$ deux entiers relatifs. Alors
- $a^m\times a^n=a^{m+n}$
- $\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
- $(a^m)^n=a^{m\times n}$
- $a^m\times b^m =(ab)^m$
- $\displaystyle\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac ab\right)^m$.
Définition :
On appelle écriture scientifique d'un nombre décimal positif $x$ son écriture sous la forme $a\times 10^n$
où $n$ est un nombre entier relatif et $a$ est un nombre décimal tel que $1\leq a< 10$.
Identités remarquables - Calcul littéral
Définition :
Pour développer et factoriser, on s'appuie sur les formules de distributivité et
double distributivité.
$$k(a+b)=ka+kb.$$
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$
Exemples :
- Développer un produit signifie écrire un produit sous la forme d'une somme.
- Factoriser une somme signifie écrire cette somme sous la forme d'un produit.
- $(x+1)(x-2)$ est un produit qui se développe en $x^2-2x+x-2$ que l'on réduit ensuite en $x^2-x-2$.
- $x^2-3x$ est une somme que l'on factorise en remarquant que $x$ est un facteur commun : $$x^2-3x=x\times \color{red}{x}-3\times \color{red}{x}=(x-3)\times \color{red}{x}.$$
Identités remarquables :
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
- $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Équations
Équations produit et équations quotient :
- un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
- un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul et le quotient est bien défini.
- produit en croix : si $b\neq 0$ et $d\neq 0$, alors $\frac ab=\frac cd$ si et seulement si $ad=bc$.
Par exemple, si on veut résoudre l'équation $(2x+1)(x-3)=0$, on sait qu'elle est équivalente à $2x+1=0$ ou $x-3=0$. Or, $2x+1=0$ a pour solution $x=-1/2$ et $x-3=0$ a pour solution $x=3$. Les solutions de l'équation $(2x+1)(x-3)=0$ sont donc $-1/2$ et $3$.
Équations avec des carrés :
L'équation $x^2=a$
- n'admet pas de solutions si $a<0$;
- admet $0$ pour unique solution si $a=0$;
- admet $-\sqrt a$ et $\sqrt a$ pour solutions si $a>0$.
Équations avec des racines carrés :
L'équation $\sqrt x=a$
- n'admet pas de solutions si $a<0$;
- admet $a^2$ pour unique solution si $a\geq 0$.
Pour compléter...
Calculs algébriques : racines, puissances, identités remarquables, équations