Oraux de concours : Polynômes

Introduisons le polynôme $P(X)=\prod_{j=1}^n (X+b_j)-c$, qui est un polynôme de degré $n.$ Or, pour tout $i=1,\dots,n,$ $P(a_i)=0$. On peut donc factoriser $P$ en $$P(X)=\prod_{i=1}^n (X-a_i).$$ D'autre part, pour tout $j\in\{1,\dots,n\},$ $P(-b_j)=-c.$ On en déduit que $$(-1)^n\prod_{i=1}^n (b_j+a_i)=\prod_{i=1}^n (-b_j-a_i)=-c$$ ce qui donne le résultat avec $d=-c$ si $n$ est pair, et $d=c$ si $n$ est impair.

On peut supposer que $\deg(P)\geq \deg(Q)$. Notons $n$ le degré de $P$ et $p$ le nombre de racines distinctes de $P.$ Soit $x_1,\dots,x_p$ les racines de $P$ et $v_1,\dots,v_p$ leur multiplicité respective. Alors $x_1,\dots,x_p$ sont des racines de $P'$ de multiplicité $(v_1-1)+\cdots+(v_p-1)=n-p.$
De même, notons $q$ le nombre de racines distinctes de $P+a$ et $y_1,\dots,y_q$ les racines de $P+a$. Remarquons que $\{x_1,\dots,x_p\}\cap\{y_1,\dots,y_q\}=\varnothing.$ Par le même raisonnement, on a trouvé $n-q$ racines de $P'$ qui sont distinctes des racines trouvées précédemment.
Puisque $\deg(P')=n-1,$ alors on a $(n-p)+(n-q)\leq n-1$ et donc $p+q\geq n+1.$ Or, $x_1,\dots,x_p$ sont des racines de $P-Q$ et $y_1,\dots,y_q$ sont des racines de $(P+a)-(Q+a)=P-Q$. On a donc trouvé $p+q\geq n+1$ racines de $P-Q$ qui est de degré inférieur ou égal à $n.$ Ainsi, $P-Q=0$ et $P=Q.$