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Oraux de concours : Matrices d'applications linéaires

Centrale

Exercice 1 - Matrices, applications linéaires et polynômes - d'après Oral Centrale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On fixe un entier $ n \geq 1 $. On note $ \phi $ l'endomorphisme $ P \mapsto P - P' $ de $ \mathbb{R}_n[X] $. On pose \[ N = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & 1 & -1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] On note $ \mathcal{E} $ la base canonique de $ \mathbb{R}_n[X] $ et $ M $ la matrice de $ \phi $ dans cette base.

Déterminer la matrice $ M $.
Montrer que les matrices $ M $ et $ N $ sont semblables.
Soit $ Q \in \mathbb{R}_n[X] $.
1. Montrer qu'il existe un unique polynôme $ P \in \mathbb{R}_n[X] $ tel que $ P - P' = Q $.
2. Montrer que si la fonction $ Q $ est positive sur $ \mathbb{R} $, alors la fonction $ P $ l'est aussi.
3. Exprimer $ P $ en fonction de $ Q $ et de ses dérivées.

Indication

Corrigé

On a, pour $k=0,\dots,n,$ $\phi(X^k)=X^k-kX^{k-1}$. La matrice M est donc $$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & -2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & 1 & -n \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Pour démontrer que $M$ et $N$ sont semblables, il suffit de démontrer que $M$ et $N$ sont la matrice du même endomorphisme de $\mathbb R_n[X]$ dans deux bases différentes. On va bien entendu utiliser $\phi.$ Si on veut que $N$ soit la matrice de $\phi$ dans une base $(P_0,\dots,P_n)$ de $\mathbb R_n[X],$ on doit avoir $\phi(P_k)=P_k-P_{k-1}$ c'est-à-dire $$P_k-P_k'=P_k-P_{k-1}\implies P_k'=P_{k-1}.$$ Ceci nous invite à poser $P_0=1,$ $P_1=X,$ $P_2=X^2/2,\dots,P_k=X^k/k!,\dots,P_n=X^n/n!.$ La famille $(P_0,\dots,P_n)$ est bien une base de $\mathbb R_n[X]$ (c'est une famille libre, car constituée de polynômes de degrés tous différents, de $n+1$ éléments dans un espace de dimension $n+1$), et la matrice de $\phi$ dans cette base est $N.$ Ainsi, $M$ et $N$ sont semblables.
1. Il s'agit de démontrer que $\phi$ est une bijection de $\mathbb R_n[X].$ Comme $\phi$ est un endomorphisme de l'espace de dimension finie $\mathbb R_n[X],$ il suffit de démontrer que $\phi$ est injective, donc que son noyau est réduit à $\{0\}$. Soit $P\in\mathbb R_n[X]$ tel que $\phi(P)=0.$ Alors $P-P'=0.$ Or, si $P\neq 0$, $\deg(P-P')=\deg(P)\geq 0\neq\deg(0)=-\infty.$ C'est une contradiction donc $P=0.$
2. Si $Q$ est constant, alors $P$ est constant (car $\deg(P)=\deg(Q)$) et $P=Q$ donc le résultat est vrai. Si $Q$ n'est pas constant, $Q$ est nécessairement de degré pair $\geq 2$, puisqu'une fonction polynomiale de degré impair prend des valeurs positives et négatives. \pause Le polynôme $P$ est alors de degré pair $\geq 2.$ De plus, $$\lim_{x\to +\infty} P(x)-P'(x)=\lim_{x\to+\infty}P(x)=\lim_{x\to+\infty}Q(x)=+\infty$$ $$\lim_{x\to -\infty} P(x)-P'(x)=\lim_{x\to-\infty}P(x)=\lim_{x\to -\infty}Q(x)=+\infty$$ En particulier, $P$ admet un minimum global. Soit $x_0$ tel que $P$ atteint son minimum global en $x_0.$ Alors $P'(x_0)=0$ et donc $P(x_0)=Q(x_0)\geq 0$. Puisque $P(x)\geq P(x_0)$ pour tout $x\in\mathbb R,$ on a bien prouvé que $P\geq 0$ sur $\mathbb R.$
3. En calculant les dérivées successives, on observe que \begin{eqnarray*} Q&=&P-P'\\ Q'&=&P'-P''\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ Q^{(n-1)}&=&P^{(n-1)}-P^{(n)}\\ Q^{(n)}&=&P^{(n)}. \end{eqnarray*} En effectuant la somme de ces égalités, on trouve : $$P=\sum_{k=0}^{n}Q^{(k)}.$$

Matrices et applications linéaires

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