Oraux de concours : groupes, anneaux, corps

Fixons $a\in A$ non nul et considérons le morphisme de groupes $(A,+)\to (A,+),\ x\mapsto ax$. Alors ce morphisme de groupes est injectif, car son noyau est réduit à $\{0_A\}$ puisque $A$ est intègre. Puisque $A$ est fini, ce morphisme est nécessairement bijectif, et donc il existe $x\in A$ tel que $ax=1_A$. Par commutativité de $A$, on a aussi $xa=1_A$ et donc $a$ admet un inverse : $A$ est un corps.
Remarquons que l'on peut se passer de l'hypothèse que $A$ est commutatif, par exemple en faisant le même raisonnement avec $x\mapsto xa$, et en prouvant que l'inverse à droite et l'inverse à gauche coïncident.

Soit $Q\in A[X]\backslash\{0\}$ de degré minimal tel que $PQ=0.$ Si $\deg(Q)=0$, c'est terminé. Sinon, écrivons $P=\sum_{i=0}^n a_i X^i$ et $Q=\sum_{j=0}^m b_j X^j$ avec $a_n\neq 0$ et $b_m\neq 0.$ Alors le coefficient devant $X^{n+m}$ est $a_n b_m$ et il est nul. Le polynôme $a_n Q$ est donc de degré strictement inférieur à $m,$ et $P(a_n Q)=0.$ Par minimalité du degré de $Q,$ on doit donc avoir $a_n Q=0$ c'est-à-dire $a_n b_j=0$ pour tout $j=0,\dots, m.$
Le coefficient devant $X^{n+m-1}$ du polynôme $PQ,$ vaut $a_{n-1} b_{m}+a_{n}b_{m-1},$ et le deuxième terme de cette somme est nulle. On doit aussi avoir $a_{n-1}b_m=0.$ En raisonnant comme ci-dessus, on obtient que $a_{n-1}Q=0$ et en particulier $a_{n-1}b_j=0$ pour tout $j=0,\dots,m.$
On étudie maintenant le coefficient devant $X^{n+m-2}$ dans le produit $PQ.$ Il est égal à $a_{n-2}b_m+a_{n-1}b_{m-1}+a_n b_{m-2}$ et les deux derniers termes sont nuls. On obtient donc $a_{n-2}b_m=0,$ et toujours par minimalité du degré de $Q,$ $a_{n-2}Q=0$, c'est-à-dire $a_{n-2}b_j=0$ pour tout $j=0,\dots,m.$
En itérant ce raisonnement, on obtient que, pour tout $i=0,\dots,n$ et tout $j=0,\dots,m,$ on a $a_i b_j=0.$ En particulier, $a_i b_m=0$ pour tout $i=0,\dots,n$ et donc $b_m P=0$ avec $b_m\neq 0.$
On peut écrire cet argument de façon un peu plus formelle. Si la propriété est fausse, il existe $q\in\{0,\dots,n\}$ le plus grand possible tel que $a_q Q\neq 0$ (sinon $a_i b_m=0$ pour tout $i=0,\dots,n$ et $b_m P=0$). Alors on peut encore écrire $$PQ=\left(\sum_{i=0}^q a_i X^i\right)\left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right)$$ (les autres termes donnent un produit nul) et donc $a_q b_m=0$ d'où $$P(a_q Q)=a_q (PQ)=0$$ avec $a_q Q\neq 0$ par construction de $q$ et $\deg(a_q Q)<\deg(Q),$ ce qui contredit la minimalité du degré de $Q.$