Oraux de concours : Familles sommables

Commençons par remarquer que, pour tout $(p,q)\in\mathbb N^2,$ $u_{p,q}\geq 0.$ Pour $p\in\mathbb N$ (provisoirement fixé), la série $\sum_q u_{p,q}$ est sommable. En effet, $$u_{p,q}\leq \frac{1}{p!}\times\frac{1}{q!}$$ et la série de terme général $\frac 1{q!}$ est sommable. Posons alors $$s_p=\sum_{q=0}^{+\infty}u_{p,q}\leq \frac 1{p!}\sum_{q=0}^{+\infty}\leq \frac{e}{p!}.$$ Ceci prouve que la série $\sum_p s_p$ est sommable, et par le théorème de sommation par paquets, la famille $(u_{p,q})_{(p,q)\in\mathbb N^2}$ est sommable.
Pour calculer la somme de cette série, on va utiliser une autre façon de former les paquets. Pour cela, pour $n\geq 0,$ on pose $$I_n=\{(p,q)\in\mathbb N^2:\ p+q=n\}$$ et on remarque que $\mathbb N^2=\bigcup_{n=0}^{+\infty}I_n.$ D'autre part, pour $n\geq 0$ fixé, on a \begin{align*} \sum_{(p,q)\in I_n}u_{p,q}&=\sum_{p=0}^n \frac{1}{p!(n-p)!(n+1)}\\ &=\frac1{n!(n+1)}\sum_{p=0}^n \binom np\\ &=\frac{2^n}{(n+1)!}. \end{align*} Par le théorème de sommation par paquets, la somme de la famille sommable vaut alors \begin{align*} \sum_{(p,q)\in\mathbb N^2}u_{p,q}&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n}{(n+1)!}\\ &=\frac 12\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\\ &=\frac 12 (e^2-1). \end{align*}