Enoncé 
Soit $n\in\mathbb N^*.$
- Soit $C\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que, pour tout $X\in\mathcal M_n(\mathbb R),$ $\det(C+X)=\det(X).$ Démontrer que $C=0.$
- Soit $(A,B)\in(\mathcal M_n(\mathbb R))^2$ telles que, pour tout $X\in\mathcal M_n(\mathbb R),$ $\det(A+X)=\det(B+X).$ Que dire de $A$ et $B$ ?
Indication 
- Utiliser que $C$ est équivalente à la matrice $J_r,$ où $r$ est le rang de $C.$
- Se ramener à la question précédente.
Corrigé
- Notons $r$ le rang de $C.$ On sait que $C$ est équivalente à la matrice $J_r,$ la matrice diagonale ayant des coefficients égaux à $1$ sur les $r$ premiers termes de la diagonale, et égaux à $0$ ailleurs. Notons $P,Q\in GL_n(\mathbb R)$ tels que $PJ_rQ=C.$ Alors d'une part
$$\det(C+X)=\det(PJ_rQ+X)=\det (J_r+P^{-1}XQ^{-1})\det(P)\det(Q)$$
et d'autre part
$$\det(X)=\det(P P^{-1} X Q^{-1}Q)=\det(P^{-1}XQ^{-1})\det(P)\det(Q).$$
De plus, puisque $P$ et $Q$ sont inversibles, $X\mapsto P^{-1}XQ^{-1}$ est un isomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. On obtient que, pour tout $Y\in\mathcal M_n(\mathbb R),$ on a
$$\det(J_r+Y)=\det(Y).$$
Mais en choisissant pour $Y$ la matrice $I_n,$ on obtient
$2^r=1.$ Ceci impose que $r=0$ et donc que $C$ est la matrice nulle.
- Posons $Y=X+B.$ Alors on a $\det(A-B+Y)=\det(Y),$ et ceci pour tout $Y\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ puisque $X\mapsto X+B$ est une bijection de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. D'après la question précédente, on trouve $A=B.$
