$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Oraux de concours : Dénombrement

CCINP
Enoncé
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2.$ L’urne $U_1$ contient deux boules blanches et trois boules noires. L’urne $U_2$ contient quatre boules blanches et trois boules noires. On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient. Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne $U_1.$ Sinon le tirage suivant se fait dans l’urne $U_2.$ Pour tout $n\in\mathbb N^*,$ on note $B_n$ l’événement « la boule tirée au $n$-ième tirage est blanche » et on pose $p_n = P (B_n).$
  1. Calculer $p_1.$
  2. Prouver que, pour tout $n\in\mathbb N^*,$ $p_{n+1} = \frac{-6}{35}p_n+\frac 47.$
  3. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la valeur de $p_n.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments.
  1. Déterminer le nombre de couples $(X,Y)$ de parties de $E$ tels que $X\subset Y$.
  2. Déterminer le nombre de couples $(X,Y)$ de parties de $E$ tels que $X\cap Y=\varnothing$.
  3. Déterminer le nombre de de triplets $(X,Y,Z)$ de parties de $E$ tels que $X,$ $Y$ et $Z$ soient deux à deux disjoints et $X\cup Y\cup Z=E.$
Indication
Corrigé