Enoncé 
Soit $n\geq 1$ et $z_1,\dots,z_n$ des nombres complexes non nuls. Démontrer qu'il existe $I\subset\{1,\dots,n\}$ tel que
$$\left|\sum_{i\in I}z_i\right|\geq \frac{1}{4\sqrt 2}\sum_{i=1}^n |z_i|.$$
Corrigé 
Écrivons chaque $z_k$ sous la forme $\rho_k e^{i\theta_k}$ avec $\theta_k\in ]-\pi,\pi].$ On coupe le plan en $4$ et on considère :
\begin{align*}
I_1&=\{i\in\{1,\dots,n\}:\ \theta_i\in [-\pi/4,\pi/4[\}\\
I_2&=\{i\in\{1,\dots,n\}:\ \theta_i\in [\pi/4,3\pi/4[\}\\
I_3&=\{i\in\{1,\dots,n\}:\ \theta_i\in [3\pi/4,\pi]\cup]-\pi,-3\pi/4[\}\\
I_4&=\{i\in\{1,\dots,n\}:\ \theta_i\in [-3\pi/4,-\pi/4[\}
\end{align*}
(remarquons la subtilité pour définir $I_3$ causée par la difficulté à définir les arguments). Il est clair que $I_1,I_2,I_3,I_4$ forme une partition de $I.$ Il existe donc $k\in\{1,\dots,4\}$ tel que
$$\sum_{i\in I_k}|z_i|\geq \sum_{i=1}^n |z_i|.$$
Supposons par exemple que $k=1.$ L'idée de ce découpage est que dans chacun des quadrants, le module de la somme n'est pas très éloigné de la somme des modules, car il n'y a pas de compensation. Par exemple, ici, on peut écrire
$$\left|\sum_{i\in I_1}z_i\right|\geq \Re e\left(\sum_{i\in I_1} z_i\right)\geq \sum_{i\in I_1}\Re e(z_i).$$
Mais, pour $i\in I_1,$
$$\Re e(z_i)=|z_i|\cos(\theta_i)\geq \frac1{\sqrt 2}|z_i|.$$
On en déduit le résultat voulu. On peut bien sûr en question subsidiaire se demander ce qui se passerait si on avait coupé le plan en $n$ parties plutôt qu'en $4$ parties, et pourquoi l'exercice a choisi de le proposer en 4 parties (en réalité, c'est optimal).
