Méthodes : Calculs de primitives et techniques élémentaires de calcul intégral
Applications de la formule du changement de variables
Théorème : Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ sur $I$. Alors si $f$ est continue sur $\varphi(I)$,
pour tous $a,b\in I$, on a
$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$
Dans la pratique, on pose
$$x=\varphi(t)\textrm{ et }dx=\varphi'(t)dt.$$
Il faut penser à transformer
- les bornes de l'intégrale
- l'expression de la fonction
- l'élément différentiel $dt$.
Fonctions du type $x\mapsto e^{ax}\cos(bx)$ ou $x\mapsto e^{ax}\sin(bx)$
Pour déterminer une primitive de $x\mapsto e^{ax}\cos(bx)$, on commence par écrire $\cos(bx)=\Re e(e^{ibx})$ et donc que $e^{ax}\cos(bx)=\Re e(e^{(a+ib)x})$. On a alors $$\int^x e^{ax}\cos(bx)dx=\Re e\left(\int^x e^{(a+ib)x}dx\right).$$ On cherche alors une primitive de $x\mapsto e^{(a+ib)x}$ car une primitive de $x\mapsto e^{\lambda x}$ est $x\mapsto \frac1\lambda e^{\lambda x}$. On conclut en reprenant la partie réelle (voir cet exercice).
On peut aussi réaliser une double intégration par parties.
Fonctions du type $x\mapsto P(x)e^{ax}$
Pour déterminer une primitive d'une fonction du type $x\mapsto P(x)e^{ax}$ où $P$ est un polynôme, il y a deux méthodes possibles :
- on peut réaliser des intégrations par parties successives en dérivant le polynôme pour diminuer son degré du polynôme jusqu'à trouver une constante.
- on peut chercher une primitive de la même forme $Q(x)e^{ax}$, et retrouver $Q$ par identification des coefficients.
Fonctions du type $x\mapsto \frac{1}{x^2+ax+b}$
- Si $x^2+ax+b$ admet deux racines réelles simples $\lambda_1$ et $\lambda_2$, alors $\frac{1}{x^2+ax+b}$ peut se réécrire en $$\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{\mu_1}{x-\lambda_1}+\frac{\mu_2}{x-\lambda_2}$$ et on sait déterminer une primitive de chacun des membres.
- Si $x^2+ax+b$ admet une racine réelle double $\lambda$, alors $\frac{1}{x^2+ax+b}$ s'écrit en réalité $$\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{1}{(x-\lambda)^2}$$ dont on connait une primitive.
- Si $x^2+ax+b$ n'admet pas de racines réelles, on transforme ce trinôme pour le mettre sous forme canonique : $$x^2+ax+b=(x+\alpha)^2+\beta^2.$$ On fait alors le changement de variables $y=x+\alpha$ pour se ramener au calcul de la primitive de $\frac{1}{y^2+\beta^2}$. On sait qu'une primitive de cette fonction est $\frac1\beta\arctan\left(\frac y\beta\right).$
Fonctions du type $x\mapsto \frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}$
- Si $x^2+ax+b$ admet deux racines réelles simples $\lambda_1$ et $\lambda_2$, alors $\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}$ peut se réécrire en $$\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}=\frac{\mu_1}{x-\lambda_1}+\frac{\mu_2}{x-\lambda_2}$$ et on sait déterminer une primitive de chacun des membres.
- Si $x^2+ax+b$ admet une racine réelle double $\lambda$, alors $\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}$ peut se réécrire en $$\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}=\frac{\mu_1}{x-\lambda}+\frac{\mu_2}{(x-\lambda)^2}$$ et on sait déterminer une primitive de chacun des membres.
- Si $x^2+ax+b$ n'admet pas de racines réelles, on transforme l'expression de sorte de faire apparaitre au numérateur la dérivée du dénominateur plus une constante comme suit : $$\frac{\alpha x+\beta}{x^2+ax+b}=\frac{\alpha}2\frac{2x+a}{x^2+ax+b}+\frac{\beta-a\alpha/2}{x^2+ax+b}.$$ Pour le premier terme de droite, on reconnait une formule du type $u'/u$. Pour le second terme, on procède comme ci-dessus. (voir cet exercice)
Fonctions trigonométriques
- Pour trouver une primitive d'un polynôme trigonométrique, on le linéarise (voir cet exercice).
- Pour des fonctions plus compliquées, on utilise souvent un changement de variables (voir cet exercice).
Calculs d'intégrales dépendant d'un entier $n$
On essaie souvent d'obtenir une formule de récurrence en utilisant une intégration par parties (voir cet exercice, ou celui-là).